El número de divisores de un número cuya suma de divisores es un cuadrado perfecto

Question

Dejemos que $n$ denota un no-prima cuyo suma de divisores es un cuadrado perfecto.

Me he dado cuenta de algunos hechos sorprendentes en el número de divisores de $n$ :

• Es primo o semiprimo o $27$ en todos los casos
• Es incluso sólo cuando $n=9$ o $n=2401$ (véase el cuadro siguiente)

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Algunos ejemplos:

 Number | List of divisors     | Sum of divisors | Number of divisors
--------|----------------------|-----------------|--------------------
 9      | 1, 3                 | 4               | 2
--------|----------------------|-----------------|--------------------
 12     | 1, 2, 3, 4, 6        | 16              | 5
--------|----------------------|-----------------|--------------------
 15     | 1, 3, 5              | 9               | 3
--------|----------------------|-----------------|--------------------
 24     | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 | 36              | 7
--------|----------------------|-----------------|--------------------
 2401   | 1, 7, 49, 343        | 400             | 4

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He afirmado esto hasta $1$ millones de dólares:

• $1$ caso en el que el número de divisores es $2$
• $1$ caso en el que el número de divisores es $4$
• $4$ casos en los que el número de divisores es $27$
• $2514$ casos en los que el número de divisores es un primo impar
• $165$ casos en los que el número de divisores es un semiprimo impar

¿Hay alguna prueba o investigación relacionada con alguna de estas observaciones?

Answer 1

Los únicos números con exactitud $2$ los divisores propios son los números de la forma $p^2$ donde p es un primo.

Los divisores propios son $1$ y $p$ en este caso, y $p+1$ con $p$ primo sólo puede ser un cuadrado perfecto para $p=3$ .

Esto se deduce de la ecuación $p=a^2-1=(a-1)(a+1)$ . Si $a>2$ entonces $p$ no puede ser un primo.

Por lo tanto, sólo hay $1$ caso de $2$ divisores.

Para el caso de $4$ divisores, tenemos que encontrar todos los primos $p$ , de tal manera que $p^3+p^2+p+1=(p+1)(p^2+1)$ es un cuadrado perfecto.

Supongamos, $q$ es un divisor de $p+1$ y $p^2+1$ , por lo que tenemos $p\equiv -1\ (\ mod\ q\ )$ y $p^2\equiv -1\ (\ mod\ q\ )$ .

Como también tenemos $p^2\equiv 1\ (\ mod\ q\ )$ podemos podemos concluir $q=2$ .

El caso $gcd(p+1,p^2+1)=1$ implicaría, que $p+1$ es un cuadrado, que sólo es posible para $p=3$ como ya se ha mencionado, pero $3^2+1=10$ no es un cuadrado.

Por lo tanto, podemos concluir que

$$p+1=2a^2\ \ \ \ \ \ \ p^2+1=2b^2$$

con $gcd(a,b)=1$

Parece que sólo $p=7$ resuelve estas ecuaciones. Si hay otra solución, debe contener más de $100\ 000$ dígitos que comprobé examinando las soluciones de la ecuación $x^2-2y^2=-1$

El número de divisores propios es par sólo para los cuadrados. Lo he comprobado y encontré dos ejemplos más para un número par :

$$35713^2=1275418369$$

tiene $8$ divisores propios.

$$102851^2=10578328201$$

tiene $14$ divisores propios.

Además, he encontrado un ejemplo con $3$ factores primos distintos :

$195534000$ tiene $399=3\times 7 \times 19$ divisores propios.