Me pidió estudiar el mapa siguiente: vamos a $I=[0,1]$ y deje $f(s)=\log(1+s^2)$ cualquier $s\in\mathbb R$. Para cada $u\in L^1(I,\mathbb R)$ establecer $$(F(u))(x)=\int_0^xf(u(t))\mathrm d t.$$
Primero de todo, me había demostrado que $F$ mapas de $L^1(I,\mathbb R)$ dentro de sí mismo. A continuación, el segundo punto era mostrar que la $F$ es Lipschitz continua de $L^1(I,\mathbb R)$ a sí mismo con la constante de Lipschitz de menos de o igual a $1$, y lo he hecho.
Finalmente el problema se le pide que muestre que la constante de Lipschitz no podía ser menos de $1$. Mi primer acercamiento fue el uso de la Caccioppoli de Banach lema para derivar una especie de contradicción. Sin embargo, si el estudio de la ecuación integral $$\begin{cases}u(x)=\int_0^x\log(1+u(t)^2)\mathrm d t\\ u(0)=0,\end{cases}$$ then by unicity of the solution one sees that $u\equiv 0$ es el único punto fijo... si no me equivoco.
Entonces traté de encontrar una secuencia de la función$u_\lambda\in L^1(I,\mathbb R)$, $\lambda<1$ de manera tal que, $\|Fu_\lambda\|_{L^1}>\lambda\|u_\lambda\|_{L^1}$, pero no tuvo éxito.
¿Alguien puede ayudarme por favor? gracias...
EDIT: Ya he escrito en el comentario después de que Hice respuesta, no creo que su método coincide con mi idea de continuar en el ejercicio.. como está escrito, suena molesto para mí.. alguien me Puede ayudar a terminar el problema?
Ps: lo siento por la aceptación de la respuesta, pero como escribí en el comentario, me he apresurado en la comprobación de los detalles porque ese tipo de funciones también fueron mi primer candidato para resolver el ejercicio. Sin embargo, permítanme gracias una vez más Hizo por responder.
