$x^2-y^2=2s$ s no puede ser un entero impar

Question

¿Cómo podemos demostrar que si $x^2-y^2=2s$ se mantiene, s no puede ser un entero impar. ¿Qué teorema de la teoría de números debemos utilizar?

Answer 1

Desde $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ , si $x^2-y^2$ es par, entonces $x+y$ es par o $x-y$ está en paz. Pero si uno de ellos es par, también lo es el otro. Esto implica que su producto es un múltiplo de $4$ y por lo tanto no es dos veces un número impar.

Por si no está claro, los teoremas utilizados en este argumento son:

• el producto de dos números Impares es impar.

• la suma de dos números pares es par.

Answer 2

El resto de un cuadrado cuando se divide por $4$ puede ser $0$ o $1$ . Por lo tanto, el resto cuando se divide por $4$ de una diferencia de cuadrados puede ser $0,1,3$ . Si es parejo sólo puede ser $0$ . Por lo tanto, una diferencia par de cuadrados es un múltiplo de $4$ .

Answer 3

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ Dejemos que $y=x+a$ entonces $(x+y)(x-y)=(2x+a)(2x-a)=4x^2-a^2$ Si $4x^2-a^2=2s$ entonces $a^2$ debe ser divisible por 2. Ya que $a$ es un número entero $a$ debe ser divisible por 2. Por lo tanto $a=2b$ . Así, $2s=4x^2-4b^2=4c$ donde $c=x^2-b^2$ es un número entero. Así, $s$ es divisible por $2$ .

Answer 4

La prueba directa por contradicción funciona.

Observe que ambos $x$ y $y$ debe ser par, o ambos deben ser impar, ya que el RHS es par.

Si $x$ y $y$ son ambos pares, entonces el LHS es divisible por $4$ y por lo tanto $4$ divide el RHS, así que $s$ tiene que ser uniforme.

Si $x$ y $y$ son ambos Impares, entonces son de la forma $4k+1$ o $4k+3$ . En cualquier caso, su cuadrado es de la forma $4n+1$ y por lo tanto el LHS es divisible por $4$ .

Answer 5

No necesitas ningún teorema especial, sólo razonar:

Si $x^2 - y^2$ es par, eso significa que ambos $x$ y $y$ están igualados o ambos son Impares.

Si ambos $x$ y $y$ son incluso, digamos $x = 2m$ y $y = 2n$ . Entonces $x^2 - y^2 = 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$ y $s = 2(m^2 - n^2)$ , lo que significa que está igualado.

Si ambos $x$ y $y$ son impar, digamos $x = 2m + 1$ y $y = 2n + 1$ . Entonces $x^2 - y^2 = (4m^2 + 4m + 1) - (4n^2 + 4n + 1) = 4(m^2 + m - n^2 - n)$ y $s = 2(m^2 + m - n^2 - n)$ , lo que significa que está igualado de nuevo.