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Un sistema de ecuaciones lineales que tiene una solución real tiene también una solución racional.

He visto esta pregunta

Dejemos que $A M_{m\times n}(\mathbb{Q})$ y $b \mathbb{Q}^m$ . Supongamos que el sistema de ecuaciones lineales $Ax = b$ tiene una solución en $\mathbb{R}^n$ . ¿Tiene necesariamente una solución en $\mathbb{Q}^n$ ?

y pensé en dar un enfoque interesante, posiblemente equivocado, para resolverlo. No estoy seguro de si tales cosas se pueden hacer, si no tal vez usted puede ayudarme a refinar.


Consideré la forma de la igualdad como

$$ A^{(1)}x_1+\cdots+A^{(n)}x_n=b, $$

donde $A^{(i)}$ es un vector de columnas de $A$ . Entonces me di cuenta de que para $x_i\in\mathbb{R\setminus Q}=\mathbb{T}$ entonces, y aquí es donde creo que estoy haciendo algo prohibido, cada $x$ tiene la representación

$$ x_1 = k_{11}\tau_1+\cdots+k_{1p}\tau_p \\ x_2= k_{21}\tau_1+\cdots+k_{2p}\tau_p \\ \vdots \hspace{4cm} \vdots \\ x_n=k_{n1}\tau_1+\cdots+k_{np}\tau_p,$$

donde $\tau_i$ es un número irracional distinto, $k_{ij}\in\mathbb{R}$ y $p$ es el número de tales números irracionales distintos. Lo he resuelto, pero puede haber una discrepancia con $p$ y $m$ . Siento que este método puede llevarme a la respuesta, pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

EDITAR $^1$ :

Termino obteniendo algo así, creo, después de la sustitución:

$$ A(k^{(1)}\tau_1+\cdots+k^{(p)}\tau_p)=b$$

Aquí, $k^{(i)}$ es el vector

$$\begin{pmatrix} k_{1i} \\ \vdots \\ k_{ni} \end{pmatrix}.$$

EDITAR $^2$ :

Creo que no hay discrepancia con $p$ y $m$ porque $A\in M_{m\times n}(\mathbb{Q})$ , $K\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$ y $\tau\in M_{p\times 1}(\mathbb{T})$ Así que

$$ (m\times n)\cdot (n\times p)\cdot (p\times 1) = m\times 1. $$

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Sé que cada $k_{1i},\dots,k_{ni}$ debe sumar cero porque ningún $\tau_i$ debería ser evidente en $AX=B$ porque $B\in \mathbb{Q}^m$ .

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fattire Puntos 716

Sí, si los coeficientes de $A$ y $b$ son racionales y el sistema tiene al menos una solución en reales, también tiene al menos una solución racional.

Las operaciones elementales de fila realizadas durante la eliminación gaussiana sólo utilizan las entradas existentes de la matriz y sus inversas, manteniendo así la matriz (y el vector $b$ ) racional todo el tiempo. Una vez que la matriz está en forma reducida de fila-echelón, algunas de las incógnitas estarán "libres" para ser fijadas a cualquier valor (esto sucede si el rango de la matriz es menor que el número de incógnitas) y las otras estarán completamente determinadas por ellas y el vector $b$ . Si se fijan los "libres" en números racionales se obtiene una solución completamente racional del sistema original.

Más generalmente, si un sistema de ecuaciones lineales sobre algún campo $F$ tiene una solución en su extensión $E$ También tiene una solución en $F$ . Además, si sabemos que hay al menos una persona no racional (o no $F$ en la versión general), la cardinalidad del conjunto de soluciones en $F$ no será menor que $|F|$ ya que habrá al menos una incógnita "libre".

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Tus comentarios sobre la cardinalidad del conjunto de soluciones no son correctos. La ecuación $AX=B$ puede tener fácilmente una única solución, por ejemplo cuando $A$ es invertible.

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@Greg ¡Gracias por descubrirlo! Sí, se me olvidó mencionar que la estimación de la cardinalidad sólo se aplica si tenemos al menos un no racional (o no $F$ ).

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