He visto esta pregunta
Dejemos que $A M_{m\times n}(\mathbb{Q})$ y $b \mathbb{Q}^m$ . Supongamos que el sistema de ecuaciones lineales $Ax = b$ tiene una solución en $\mathbb{R}^n$ . ¿Tiene necesariamente una solución en $\mathbb{Q}^n$ ?
y pensé en dar un enfoque interesante, posiblemente equivocado, para resolverlo. No estoy seguro de si tales cosas se pueden hacer, si no tal vez usted puede ayudarme a refinar.
Consideré la forma de la igualdad como
$$ A^{(1)}x_1+\cdots+A^{(n)}x_n=b, $$
donde $A^{(i)}$ es un vector de columnas de $A$ . Entonces me di cuenta de que para $x_i\in\mathbb{R\setminus Q}=\mathbb{T}$ entonces, y aquí es donde creo que estoy haciendo algo prohibido, cada $x$ tiene la representación
$$ x_1 = k_{11}\tau_1+\cdots+k_{1p}\tau_p \\ x_2= k_{21}\tau_1+\cdots+k_{2p}\tau_p \\ \vdots \hspace{4cm} \vdots \\ x_n=k_{n1}\tau_1+\cdots+k_{np}\tau_p,$$
donde $\tau_i$ es un número irracional distinto, $k_{ij}\in\mathbb{R}$ y $p$ es el número de tales números irracionales distintos. Lo he resuelto, pero puede haber una discrepancia con $p$ y $m$ . Siento que este método puede llevarme a la respuesta, pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.
EDITAR $^1$ :
Termino obteniendo algo así, creo, después de la sustitución:
$$ A(k^{(1)}\tau_1+\cdots+k^{(p)}\tau_p)=b$$
Aquí, $k^{(i)}$ es el vector
$$\begin{pmatrix} k_{1i} \\ \vdots \\ k_{ni} \end{pmatrix}.$$
EDITAR $^2$ :
Creo que no hay discrepancia con $p$ y $m$ porque $A\in M_{m\times n}(\mathbb{Q})$ , $K\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$ y $\tau\in M_{p\times 1}(\mathbb{T})$ Así que
$$ (m\times n)\cdot (n\times p)\cdot (p\times 1) = m\times 1. $$
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Sé que cada $k_{1i},\dots,k_{ni}$ debe sumar cero porque ningún $\tau_i$ debería ser evidente en $AX=B$ porque $B\in \mathbb{Q}^m$ .