Área cubierta por una constante la longitud del segmento de rotación alrededor del centro de un cuadrado.

Question

Esta es una idea que he tenido en mi cabeza por años y años y me gustaría saber la respuesta, y también me gustaría saber si de alguna manera relevante a nada o inútil. Puedo describir mis pensamientos con la siguiente imagen:

¿Cuál sería el área de la "roja casi la mitad" círculo en la parte superior de la tercera plaza, suponiendo que girar la hipotenusa de un cuadrado alrededor del centro de la limitación de su movimiento, de modo que no puede pasar a través de la parte inferior de la plaza.
Mi conjetura sería:

$$\ \frac{\left(\pi*(h/2)^2 - a^2\right)}{2}$$

Y también, ¿tiene esto algún significado? He estado vagando alrededor de pensamiento acerca de una completa tontería por tantos años?

Answer 1

He encontrado este problema lo suficientemente interesante como para hacer un poco de animación a lo largo de la línea de @Azul del diagrama (pero yo no quiero editar su respuesta sin permiso):

Mathematica sintaxis para aquellos que estén interesados:

G[d_, t_] := {t - (d t)/Sqrt[1 + t^2], d /Sqrt[1 + t^2]}
P[c_, m_] := Show[ParametricPlot[G[# Sqrt[8], t], {t, -4, 4}, 
 PlotStyle -> {Dashed, Hue[#]}, PlotRange -> {{-1.025, 1.025}, {-.025, 
               2 Sqrt[2] + 0.025}}] & /@ (Range[m]/m), 
 ParametricPlot[G[Sqrt[8], t], {t, -1, 1}, PlotStyle -> {Red, Thick}], 
 Graphics[{Black, Disk[{0, 1}, .025], Opacity[0.1], Rectangle[{-1, 0}, {1, 2}],
           Opacity[1], Line[{{c, 0}, G[Sqrt[8], c]}], Disk[{c, 0}, .025],
           {Hue[#], Disk[G[# Sqrt[8], c], .025]} & /@ (Range[m]/m)}],
 Axes -> False]
Manipulate[P[c, m], {c, -1, 1}, {m, 1, 20, 1}]

Answer 2

Deje $O$ ser el centro de la plaza, y deje $\ell(\theta)$ ser la línea a través de $O$ que hace un ángulo de $\theta$ con la línea horizontal. La línea de $\ell(\theta)$ se cruza con la parte inferior de la plaza a un punto de $M_\theta$, con $OM_\theta=\dfrac{a}{2\sin \theta }$. Por lo tanto, si $N_\theta$ es el otro extremo de nuestro 'rotación' diagonal, entonces tenemos $$ON_\theta=\rho(\theta)=h-OM_\theta=a\sqrt{2}-\dfrac{a}{2\sin \theta }.$$ Ahora, el área de trazado por $ON_\theta$ $\theta$ varía entre el $\pi/4$ $3\pi/4$ es nuestra área deseada aumentada por la zona del barrio de la plaza. Así, el área deseada es $$\eqalign{ \mathcal{A}&=\frac{1}{2}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\rho^2(\theta)\,d\theta\frac{a^2}{4}\cr y=a^2\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2\sin\theta}\right)^2\,d\theta\frac{a^2}{4} y=a^2\left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})\right) } $$ Por lo tanto, la respuesta correcta es acerca de $13.6\%$ más grande que la conjetura de respuesta.

Answer 3

Para evitar que algunas fracciones, voy a definir $b := a/2$, de modo que el lado del cuadrado es $2b$ y su diagonal tiene una longitud de $2b\sqrt{2}$. La posición de la plaza, de modo que su parte inferior se encuentra en el $x$-eje, y su centro se encuentra en la $y$ eje (específicamente, en $(0,b)$).

Inclinada en diagonal determina una línea a través de $(0,b)$ y, digamos, $(c,0)$, $c$ algún parámetro tal que $-b \leq c \leq b$. Dicha línea tiene por ecuación $$\frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1 \qquad \to \qquad x b + y c = b c \qquad (\star)$$ El extremo superior, $(x,y)$, de los inclinado en diagonal a una distancia de $2b\sqrt{2}$$(c,0)$: $$(x-c)^2 + y^2 = 8 b^2 \qquad (\star\star)$$ La eliminación de $c$ $(\star)$ $(\star\star)$ da $$x^2 = \frac{(y-b)^2 (8 b^2 - y^2)}{y^2}$$ Esta ecuación representa este gráfico:

El área de la parte de arriba de la plaza se puede determinar a través de esta integral:

$$2\;\int_{2b}^{2b\sqrt{2}}\frac{y-b}{y}\sqrt{8b^2-y^2} \; dy = 2b^2 \left( \pi - 2 \sqrt{2} \log( 1 + \sqrt{2} ) \right) = a^2 \left( \frac{\pi}{2} - \sqrt{2} \log(1+\sqrt{2})\right)$$ lo cual está de acuerdo con ambas, @OmranKouba y @IanMateus.

Answer 4

Esto no es realmente una respuesta, pero quería dejar constancia de mi observación de que la curva en cuestión no es en realidad un círculo.

Digamos que el cuadrado tiene esquinas en$(\pm 1, \pm 1)$, de modo que el centro está en el origen (y la diagonal tiene una longitud de $\sqrt{8}$). Si fijamos un punto de $(s,-1)$ sobre el borde inferior de la plaza, la línea a través de $(s,-1)$ $(0,0)$ es parametrizadas por $t \mapsto (-ts, t)$. El punto sobre esta línea que es la distancia a $\sqrt{8}$ $(s,-1)$ corresponde a $t$ la solución positiva de $$(-ts-s)^2+(t+1)^2=8$$ que es $$t = -1 + \sqrt{\frac{8}{s^2+1}}.$$ Por lo que la curva es parametrizadas por $$(x(s),y(s)) = \left( s - s\sqrt{\frac{8}{s^2+1}}, -1+\sqrt{\frac{8}{s^2+1}}\right).$$ Si esto es de hecho un círculo, por la simetría de su centro debe estar en la $y$-eje en algún punto de $(0, y_0)$, en cuyo caso debemos tener $$x(s)^2 + (y(s)-y_0)^2 = \text{const}$$ o, la diferenciación,la $$2 x(s) x'(s) + 2 (y(s)-y_0) y'(s) = 0.$$ De problemas, nos encontramos con que debemos tener $$y_0 = \frac{x(s) x'(s)}{y'(s)} + y(s).$$ Pero esto no es constante. Al $s=0$ el lado derecho es $\frac{4-\sqrt{2}}{4}$, mientras que el si $s=1$ obtenemos $1$.

Answer 5

Yo no soy como súper experto en matemáticas, y yo solo tipo de revisar mi trabajo, pero estoy bastante seguro de que este toscamente dibujado msPaint imagen es correcta.