Es posible partición de $\mathbb R$ a un contable número de distintos subconjuntos densos con la misma cardinalidad?
Además, es posible la partición de los reales en un número incontable de distintos subconjuntos densos con la misma cardinalidad?
Esta es una pregunta de seguimiento sobre una vieja pregunta que fue respondida aquí.
Puede $\mathbb{R}$ dividirse en $n$ densos conjuntos con la misma cardinalidad?
Allí, alguien fue capaz de construir una partición de $\mathbb R$ a $n$ subconjuntos densos de la misma cardinalidad.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para la primera parte, encuentra una $\mathbb Q$-la base de los números reales. Esto requiere el axioma de elección o algo similar. Retire uno de los elementos de base, y obtienes un subgrupo $G$ $\mathbb R$ $\mathbb R/G\cong\mathbb Q$. Mostrar que $G$ es denso.
Los elementos de partición son entonces el cojunto de $\mathbb G$ como un subgrupo de $\mathbb R$ - $x\sim y\iff x-y\in G$.
Una técnica similar también funciona para la segunda pregunta, pero un enfoque mucho más fácil es tomar el cojunto de $\mathbb Q$.
Akiva Weinberger
Puntos
7698
Considerar el binario de expansión de un número. (Aquí, yo estoy usando "un número finito de" incluir el cero.)
- Deje $A_0$ el conjunto de los números que tienen un número finito de $01$s en la expansión.
- Deje $A_1$ ser aquellos que tienen una infinidad de $01$s, pero un número finito de $011$s en la expansión.
- Deje $A_2$ ser aquellos que tienen una infinidad de $01$s y $011$s, pero un número finito de $0111$s.
- etc.
- Deje $A_\omega$ ser aquellos que tienen una infinidad de $01$s, $011$s, $0111$s, etc.
Hace este trabajo?
