Encuentra rastro del operador lineal

Question

Deje $A$ ser un operador lineal que actúa sobre el espacio vectorial $V=\langle x_1,x_2, \ldots,x_n\rangle$ por permutación de los vectores de la base. Supongamos que sabemos que sus autovalores ( algunas raíces de la unidad ): $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n.$

Ahora, considere el espacio vectorial $V^{(2)} \subset {\rm Sym}^2 V$ generado por los elementos de $x_i x_j, i<j,$ $\dim V^{(2)}=\binom{n}{2}.$ que nos Permita ampliar el operador $A$ $V^{(2)}$ por la linealidad y por $A(x_i x_j)=A(x_i)A(x_j)$. Indicar la extensión por $A^{(2)}$. Está claro que $A^{(2)}$ permutes los vectores de la base de $V^{(2)}$ $A^{(2)}$ es un endomorfismo de $V^{(2)}$.

Pregunta. ¿Qué es la huella de la $A^{(2)}?$

Por el método de ensayo y error, he encontrado una fórmula para el seguimiento $$ {\rm Tr}(A^{(2)})=\sum_{i=1}^n\lambda_i^2+\sum_{i<j}\lambda_i \lambda_j-\sum_{i=1}^n \lambda_i $$ pero no puedo demostrarlo. Alguna idea?

Answer 1

Si $A$ actúa sobre esta base que el rastro simplemente va a ser de que tamaño $N$ del conjunto de base de vectores fija (es decir, el número de $i$ tal que $A(x_i) = x_i$) y como tal tenemos que $Tr(A) = \sum_{i = 1}^n \lambda_i = N$. Entonces el número de vectores de la base fijada por $A^{(2)}$ es simplemente $\frac{\text{Tr}(A^2) + \text{Tr}(A)^2}{2} - N$ que es precisamente su fórmula. Esto es porque $A^{(2)}$ fija un vector $A$ transpone dos vectores, que corresponde a un vector fijo de $A^2$, o cuando $A$ fija dos vectores.

Answer 2

Tenga en cuenta que el seguimiento de cualquier permutación es su número de puntos fijos (es decir, el número de $1$-ciclos). Como en mi anterior respuesta, vamos a $x_{ij}$ denotar $x_ix_j = x_{ji}$.

Con el fin de tener $A^{(2)}(x_{ij}) = x_{ij}$, debemos tener $$ (Ax_i)(Ax_j) = x_{ij} \DeclareMathOperator{\tr}{Tr} $$ Hay exactamente dos maneras en que esto puede ocurrir:

• $x_i$ $x_j$ son puntos fijos de $A$, es decir, que la $Ax_i = x_i$$Ax_j = x_j$.
• $A$ transpone $x_i$$x_j$, es decir, que la $A x_i = x_j$$Ax_j = x_i$.

Así que: si $A$ $p$ puntos fijos, a continuación, $\binom p2$ puntos fijos de $A^{(2)}$ será el resultado. Si $A$ $q$ transposiciones, a continuación, $q$ puntos fijos de $A^{(2)}$ será el resultado. Es decir, $\tr(A^{(2)}) = \binom p2 + q$.

Sin embargo, tomamos nota de que $p = \tr(A)$, e $q = \frac12(\tr(A^2) - \tr(A))$. Así, ahora tenemos $$ \tr(A^{(2)}) = \frac{\tr(A)(\tr(Un) - 1)}{2} + \frac 12[\tr(A^2) - \tr(A)] =\\ \frac 12\tr(A^2) + \frac12 {\tr(A)^2} - \tr(A) $$ En términos de los valores propios de a $A$, esto nos da $$ \tr(A^{(2)}) = \frac 12 \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 + \frac 12 \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)^2 - \sum_{i=1}^n \lambda_i =\\ \sum_{i=1}^n\lambda_i^2+\sum_{i<j}\lambda_i \lambda_j-\sum_{i=1}^n \lambda_i $$ precisamente como se desee.