¿Si $|f(x)-f(y)|\geq \frac12|x-y|$, debe $f$ ser biyectiva?

Question

¿Que $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ ser una función continua tal que $$|f(x)-f(y)|\geq \frac12|x-y|$$ for all$x,y\in \mathbb R $. Then is $f # $ uno y?

Que $f(x)=f(y)$ $0=|f(x)-f(y)|\geq (1/2)|x-y|$, es decir, $x=y$

Por lo tanto es inyectiva $f$.

Pero no puedo concluir si $f$ es a. Cualquier ayuda

Answer 1

Sugerencia. Demostrar que $f$ es monótono y sin límites por encima y por debajo. Entonces aplicar el teorema del valor intermedio (otra vez).

Answer 2

$f$ es uno a uno y seguir, por lo tanto, $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Demostremos que $f$ no limita, que $y=0$, entonces el $-|f(x)-f(0)|\leq \frac{x}{2}\leq |f(x)+f(0)|$

Por lo tanto $|f(x)|\geq \frac{x}{2}-|f(0)|$ y por lo que no es ningún límite superior y $|f(x)|\leq \frac{x}{2}+|f(0)|$ $f$ baja no está limitado, por lo tanto $f$ a.

Answer 3

Set $y=0.$ elegir cualquier valor real $c > 0$ te gusta.

¿Puede elegir $x$ por lo que puede garantizar que $f(x) > c$?

¿Puede elegir $x$ por lo que puede garantizar que $f(x) < -c$?

¿Qué decir acerca de la existencia de $x$ tal que $f(x) = r$ $-c \leq r \leq c$?

Dado un número $r \in \mathbb R,$ ¿qué puede usted hacer demostrando $\exists x. f(x) = r$?