$ z^2 -6z + 25 $ en el conjugado complejo de resolver

Question

Necesito resolver esto: $$ z^2 -6z + 25 = 0$ $

Mi libro 'completar la plaza', dice así:
1.$$ (z - 6/2)^2 -36/4 + 25 $$
2.$$ (z - 3)^2 -9 + 25 $$
3.$$ (z - 3)^2 + 16 $$

Ahora cómo exactamente lo anterior se convierte en esto:
$$ 3\pm 4\imath $$

Muchas gracias
Gideon

Answer 1

Son de las raíces cuadradas de -16 $4i$ y $-4i$.

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Como un toque adicional a cualquiera que pueda encontrar a este tipo de cosas en el futuro, un polinomio con el conjugado complejo raíces $\alpha$ y $\alpha^\ast$ serán de la forma

$$x^2-2(\Re\alpha)x+|\alpha|^2$$

Tenga en cuenta que $3^2+4^2=5^2=25$ y que $6=2\times 3$. Así, una vez que verifiques que tu cuadrática tiene un discriminante negativo, casi al instante puede escribir abajo el complejo conjugado raíces.

Answer 2

Creo que tu confusión aquí surge del hecho de que está trabajando con una expresión, no una ecuación. Sólo usted puede resolver ecuaciones; ¡no tiene sentido para 'resolver' una expresión!

Edición: Parece que sólo han editado tu post para que la primera línea es una ecuación. Mejor guardar en forma de ecuación a lo largo de sin embargo.

Estoy suponiendo que tienes:

$$z^2 - 6z + 25 = 0$$

A continuación, completando el cuadrado:

$$(z - 6/2)^2 -36/4 + 25 = 0$$

$$(z - 3)^2 - 9 + 25 = 0$$

$$(z - 3)^2 = -16$$

$$z - 3 = \pm 4i$$

$$z = 3 \pm 4i$$

Answer 3

Respuesta de Noldorin cubre más o menos lo que yo diría, pero cabe señalar que se puede proceder en el trabajo con la expresión hasta que se descomponen en factores en términos lineales y leer los ceros (las soluciones a la ecuación de $(z - 3)^2 + 16=0$) de allí.

Continuando de $(z - 3)^2 + 16$: $$\begin{align} (z - 3)^2 + 16 &= (z - 3)^2 - (-16) \\ &= (z - 3)^2 - (4i)^2 \\ &= ((z-3)-4i)((z-3)+4i) \\ &= (z-(3+4i))(z-(3-4i)) \end {Alinee el} $$ por lo tanto, los ceros de la expresión $3+4i$ y $3-4i$.

Answer 4

También puede utilizar la fórmula cuadrática para calcular el resultado elegante, que va como esto:

$z^2 - 6z + 25 = 0 $

$ z = \frac { 6 \pm \sqrt{36 -100} } {2} $

$ = \frac{ 6 \pm 8i}{2} $

$= 3 \pm 4i $