¿Es posible $R \oplus M$ y $R \oplus N$ ser isomorfo a cada otro si $M$ y $N$ no son isomorfos?

Question

Supongamos $M$ $N$ son no isomorfos $R$-módulos (donde $R$ es un anillo conmutativo con elemento unidad).Podemos concluir que el $R \oplus M \not\simeq R \oplus N$ ? Si no es en esta la mayoría de la configuración general, hay una respuesta afirmativa en algunas circunstancias especiales ?

Motivación : estoy leyendo la Proposición 9(1.4) en Dale Husemoller del libro 'Haces de Fibras", que dice :

Si $u,v : \theta^1 \to \xi^k$ son dos monomorphisms de la trivial línea paquete de más de $B$ a $\xi^k$ (un k-dimensional vector paquete de más de $B$) , de tal manera que $n \leq ck-2$, luego coker $u$ y coker $v$ son isomorfos $B$.

Utilizando el hecho de que a corto exacta secuencias de finito dimensionales vector de paquetes a través de una paracompact espacio dividido, y la sustitución de vector de paquetes de más de $B$ $R$- módulos, tengo la pregunta que me estoy preguntando aquí.

Básicamente estoy tratando de ver si el teorema acerca de vector paquetes pueden ser generalizados a una arbitraria abelian categoría.

Answer 1

Dos $R$-módulos de $M$ $N$ dicen ser "estable isomorfo" (ver Pilas , por ejemplo) si $M \oplus R^n$ $N \oplus R^n$ son isomorfos para algunos $n \in \mathbb{N}$. Es posible que dos personas que no son isomorfos a los módulos de forma estable isomorfo. Si $M'$ $N'$ son de esos módulos, vamos a $n$ ser el más pequeño (necesariamente positivo) número entero tal que $M' \oplus R^n \cong N' \oplus R^n$; a continuación, $M = M' \oplus R^{n-1}$ $N = N' \oplus R^{n-1}$ satisfacer su condición.

En El K-libro: una introducción a la algebraica de K-teoría, Weibel da un ejemplo (Capítulo I, Ejemplo 1.2.2) de una forma estable un módulo que no es libre. El anillo es $R = \mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2=1)$ y el módulo de es $P = \ker \sigma$ donde$\sigma : R^3 \to R$$(P,Q,R) \mapsto xP+yQ+zR$. A continuación, $P \oplus R \cong R^3 = R^2 \oplus R$ $R$- módulos, sino $P$ no es isomorfo a $R^2$. (Locamente suficiente, la razón viene de la topología algebraica: es la peluda bola teorema!)

De hecho, si usted va a través de la definición, verá que dos finitely generado módulos proyectivos $M$, $N$ más de $R$ estable isomorfo iff son iguales en $K_0(R)$, el cero algebraica de K-teoría del grupo de $R$. (Véase también el K-libro, Capítulo 2).