En el número de colas consecutivos cuando una moneda sesgada los bancos

Question

Decir que lanza una moneda sesgada tal que la probabilidad de obtener el mismo resultado en una fila (cabeza-cabeza o cola-cola) es $p$.

Cuál es la probabilidad de obtener tres o más colas consecutivamente de $n$ tirones (y también de infinidad de saltos).

Por ejemplo: TTT-H-TTT-HH-TTTT...

Estoy buscando:

1. La fracción de colas que se encuentran en secciones de tamaño tres o más.
2. El tamaño esperado de secciones con colas.

Answer 1

Voy a considerar el caso de una infinita cadena de lanzar una moneda, pues es más fácil.

Empezar con anon sugerencia. Deje $q$ la probabilidad de que la moneda sale de la cola. Entonces la probabilidad de obtener dos colas en una fila debe ser $q^2$, y la probabilidad de obtener dos cabezas en una fila debe ser $(1-q)^2$, así que usted sabe que $p=q^2+(1-q)^2=2q^2-2q+1$, y por lo tanto $$q=\frac14\left(2\pm\sqrt{4-8(1-p)}\right)=\frac12\left(1\pm\sqrt{2p-1}\right)\;.$$ One of the solutions is $q$; the other is $1-q$, la probabilidad de que la moneda sale cara. No hay manera de decidir cual es la que sin más información.

En cualquier etapa en el proceso de la probabilidad de una carrera de a $n$ colas es $q^n(1-q)$, por lo que la duración esperada de una carrera de colas es $\sum_{n\ge 0}nq^n(1-q)$. Sin embargo, esto incluye las carreras de la longitud de la $0$, lo que no quiere contar, por lo que un ajuste es necesario. La probabilidad de una ejecución de longitud $0$$1-q\,$, por lo que la probabilidad de una racha de positivos longitud es $q$, y para $n>0$ la probabilidad de ejecución de la longitud de la $n$ dado que el plazo ha positivos longitud es por lo tanto $$\frac{q^n(1-q)}q=q^{n-1}(1-q)\;.$$ Thus, the expected length of a non-zero run of tails is $$\sum_{n\ge 1}nq^{n-1}(1-q)=(1-q)\sum_{n\ge 1}nq^{n-1}=\frac{1-q}{(1-q)^2}=\frac1{1-q}\;.$$

Esto es bastante estándar de suma, pero si usted no está familiarizado con él, sólo se diferencian $$\sum_{n\ge 0}x^n=\frac1{1-x}\;.$$

Para $k=1,\dots,n$ la probabilidad de que una determinada cola es la $k$-ésimo de una carrera de a $n$ colas es $q^{n-1}(1-q)^2$ (ya que podemos ignorar borde de los efectos en el comienzo de la infinita cadena de lanzamientos), por lo que la probabilidad de que pertenece a una carrera de $n$ colas es $nq^{n-1}(1-q)^2$, y la probabilidad de que pertenezca a una carrera de al menos tres tiros es de $$\begin{align*}\sum_{n\ge 3}nq^{n-1}(1-q)^2&=(1-q)^2\sum_{n\ge 3}nq^{n-1}\\ &=(1-q)^2\left(\frac1{(1-q)^2}-(1+2q)\right)\\ &=q^2(3-2q)\;; \end{align*}$$

esta es la fracción de colas pertenecientes a las carreras de tres o más.

Answer 2

Llame a $q$ la probabilidad de obtener una cola, por lo tanto $q$ resuelve $2q(1-q)=1-p$. Deje $X_n$ denotar la longitud de la carrera de consecutivos colas justo antes de que el tiempo de $n$$T_k=\inf\{n\geqslant0\mid X_n=k\}$.

Su primera pregunta está pidiendo la probabilidad de $[T_3\leqslant n]$. Tenga en cuenta que $(X_n)_{n\geqslant0}$ es una cadena de Markov en $\{0,1,2,\ldots\}$, a partir de $X_0=0$, con probabilidades de transición de $p_{k,k+1}=q$$p_{k,0}=r$$r=1-q$.

El método habitual para calcular la distribución de $T_3$ se aplica. Llame a $t_k=\mathrm E_k(s^{T_3})$ por cada $k\leqslant3$ y para un determinado $|s|\leqslant1$. Por lo tanto, uno está interesado en $t_0$ y uno sabe que $t_3=1$ y que por cada $k$ en $\{0,1,2\}$, $t_k=s(qt_{k+1}+rt_0)$.

Así, se lee $t_0=qst_1+rst_0$, $t_1=qst_2+rst_0$ y $t_2=qs+rst_0$, por lo tanto $t_1=qs(qs+rst_0)+rst_0$$t_0=qs(qs(qs+rst_0)+rst_0)+rst_0$, es decir, $$ t_0=\frac{q^3^3}{1-rs-qrs^2-q^2rs^3}. $$ La introducción de las tres raíces $s_1$, $s_2$ y $s_3$ del polinomio $1-rs-qrs^2-q^2rs^3$, se obtiene por algunos coeficientes de $a_i$ que $$ t_0=q^3^3\sum_{i=1}^3\frac{a_i}{1-s/s_i}=q^3^3\sum_{i=1}^3a_i\sum_{n\geqslant0 s}^n/s_i^n, $$ por lo tanto, mediante la identificación, $$ \mathrm P(T_3=n+3)=q^3\sum_{i=1}^3a_i/s_i^{n}, $$ y por último, $$ \mathrm P(T_3\leqslant n+3)=q^3\sum_{i=1}^3\frac{a_i}{s_i-1}(1-1/s_i^{n+1}). $$