¿Cómo probar $\frac 1{2+a}+\frac 1{2+b}+\frac 1{2+c}\le 1$?

Question

¿Cómo probar esta desigualdad? $$\frac 1{2+a}+\frac 1{2+b}+\frac 1{2+c}\le 1$ $ $a,b,c>0 $ y $a+b+c=\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c$.

No sé dónde empezar. Necesito alguna idea y consejos sobre este problema. Gracias

Answer 1

Cambié la letras $a,b,c$ $x,y,z$ sin ninguna buena razón.

Que $S = x+y+z, S_2 = xy + yz + zx, P = xyz$.

Como el problema es invariante bajo diferentes permutaciones de $x,y,z$, entonces usted puede expresar todo con estas variables de mew. En efecto:

$$ \frac 1 {2 x} + \frac 1 {2 + y} + \frac 1 {2 + z} = \frac{S_2 + 4S + 12} {P + 2S_2 + 4S + 8} \\ x + y + z = \frac 1 x + 1y \frac + \frac 1z \iff SP = S_2 $$

Ahora te queda una función de dos variables a estudiar.

Answer 2

la desigualdad dada es equivalente a $abc+ab+ac+bc\geq 4$ (I) de la condición dada obtenemos $abc(a+b+c)=ab+ac+bc$ (1) esto le da en nuestro % de desigualdad (I) $abc+abc(a+b+c)\geq 4$desde $a+b+c\geq 3$ tenemos en el caso $abc\geq 1$: $abc+abc(a+b+c)\geq 1+3\cdot 1=4$
ahora nuestro segundo caso:
$abc\le 1$ entonces podemos fijar $a=\frac{1}{a'},b=\frac{1}{b'},c=\frac{1}{c'}$, se cumple la condición $a'+b'+c'=\frac{1}{a'}+\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'}$ y podemos hacer lo mismo como en la parte I.