¿Definición de Delta de Dirac en el análisis no estándar?

Question

¿Cuál es la definición de Delta de Dirac en el análisis no estándar?

Yo lo definiría como una distribución estándar con $\sigma=\epsilon$ o como máximo igual a $\omega$ . ¿Cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Al igual que en el análisis estándar, donde hay muchas formas de representar la distribución delta de Dirac como límite de una secuencia, en el análisis no estándar hay muchas formas de representar el delta de Dirac como una función no estándar.

Lo más sencillo es probablemente elegir un infinito $H$ y establecer

$$ d(x) = \begin{cases} 0 & |x| > \frac{1}{2H} \\ H & |x| \leq \frac{1}{2H} \end{cases} $$

Convolver $d$ con cualquier estándar función continua da

$$ \begin{align}\int_{-\infty}^{\infty} d(x) f(x) \, dx &= H \int_{-\frac{1}{2H}}^{\frac{1}{2H}} f(x) \, dx \\&= H f(\epsilon) \int_{-\frac{1}{2H}}^{\frac{1}{2H}} 1 \, dx \\&= H f(\epsilon) \frac{1}{H} \\&= f(\epsilon) \\&\approx f(0) \end{align}$$

donde he utilizado el teorema del valor medio para pasar de la línea uno a la línea dos. (se podría utilizar en su lugar $|f(x) - f(0)| < e$ para $|x| < \frac{1}{2H}$ si les gusta)

Answer 2

He encontrado la respuesta.

$$\delta(x)=\frac{\omega e^{-(\omega x)^2}}{\sqrt{\pi }}$$

Y su integral, Heaviside Theta es

$$\theta(x)=\frac12\operatorname{erf}(\omega x)+1/2$$

Como tal,

$$\delta(0)=\frac{\omega}{\sqrt{\pi}}$$