Los tratamientos estándar de la Pi de Buckingham Teorema parecen implicar que, dada una función adimensional $f$ de las variables de $q_1, q_2, \dots, q_n$ con asociados a la dimensión de la matriz de tener rango de $r$, existe una función de $\phi$ $\nu = n-r$ variables y pi grupos $\pi_1, \pi_2, \dots, \pi_\nu$ tal que $$ f(q_1, q_2, \dots, q_n) = \phi(\pi_1, \pi_2, \dots, \pi_\nu). \etiqueta{$\star$} $$ Un pi de grupo es una función de la $q_i$ que toma la forma $q_1^{a_1}q_2^{a_2}\cdots q_n^{a_n}$ para algunos racional $a_1, a_2, \dots, a_n$. Si todos los $a_i$ son cero, voy a llamar a la pi grupo de "trivial".
Un simple contraejemplo
Considere el caso en $n=1$ $q_1 = q$ por simplicidad de notación, y dejar que la función de $f:\mathbb R\to \mathbb R$ ser definido por $$ f(q) = \mathrm{sgn}(q) $$ donde $\mathrm{sgn}$ es el signo de la función. Esta función tiene la propiedad de que $$ f(\lambda q) = f(q) $$ para todos los positivos $\lambda$ -- escala invariante bajo cambios positivos de la escala, así que no importa qué dimensiones se asigna a $q$, esta función es adimensional, pero no puede ser escrito como una función de pi grupos. De hecho, si $q$ es dimensionful, entonces no habrá ningún no-trivial pi grupos para hablar de, e $\mathrm{sgn}(q)$ no es un pi de grupo.
Menos reductiva/artificial, pero esencialmente equivalente contraejemplo
Considerar la fórmula de la cuadrática arrastre en una dimensión: $$ F_d(\rho, a, v) = -\frac{1}{2}C_d\rho Un v|v| = -\frac{1}{2}C_d\rho Una v^2\mathrm{sgn}(v). $$ Dividir ambos lados por $\rho A v^2$ revela una cantidad adimensional $$ f(\rho, a, v) = \frac{F_d(\rho,a, v)}{\rho Una v^2} = -\frac{1}{2}C_d\mathrm{sgn}(v) $$ que no puede ser escrito en términos de pi grupos. No hay no-trivial pi grupos que se pueden formar a partir de la densidad, el área y la velocidad, y $\mathrm{sgn}(v)$ no es un pi de grupo.
Error en la prueba?
Además de estos contraejemplos, como yo estaba leyendo una prueba del Teorema de Pi en Bluman y Kumei las Simetrías y las Ecuaciones Diferenciales, que llegó a través de un paso en la prueba (la frase "en consecuencia, $F$ es independiente de $X_n$" a la derecha después de la ecualización. 1.23) que creo que es erróneo, dado que sólo nos permiten escala positiva de transformaciones cuando el cambio de unidades, y creo que este error corresponde a la falta de la posibilidad de necesitar tanto pi grupos y signo de las funciones de variables en la escritura de cantidades adimensionales en términos de otras cantidades adimensionales. El quid del problema con el argumento me parece la afirmación de que si una función es positiva escala invariante, es decir, $f(\lambda q) = f(q)$ para todos los positivos $\lambda$, entonces es constante. El signo de la función es un contraejemplo a esta afirmación. Yo creo que lo más que puede decirse acerca de una función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que es positivo escala invariante es que es constante para todos los valores negativos y constante para todos los valores positivos para potencialmente diferentes constantes.
Mi pregunta en pocas palabras
Si una cantidad adimensional $f$ es una función no negativa cantidades $q_1, q_2, \dots, q_n$, entonces parece que el estándar de la declaración del teorema es correcto, por ejemplo, la prueba en Bluman y Kumei pasa a través sin error como lo que yo puedo decir, pero si una o más variables se le permite ser negativo, no debe ecuación ($\star$) por encima en lugar de ser escrita como $$ f(q_1, q_2, \dots, q_n) = \phi(\mathrm{sgn}(q_1), \mathrm{sgn}(q_2), \dots, \mathrm{sgn}(q_n), \pi_1, \pi_2, \dots, \pi_\nu)? \etiqueta{$\star\star$} $$ Creo que Bluman y Kumei de la prueba puede ser modificado para probar esto un poco más débil de la versión del teorema.
