Su idea general es correcta. Como un ejemplo claro, considere la posibilidad de una teoría del campo de la $n$ campos escalares que pueden ser colocados en un $n$-componente del vector columna $\phi$, con un potencial, $V(\phi)$. Además, supongamos que un grupo de simetría, $G$ de la de Lagrange.
El potencial de $V(\phi)$ tiene una familia de degenerados mínimos que forman un colector, $\mathcal M$. Ahora, para una teoría con un vacío expectativa de valor, $\phi_0$, esperamos $D(g)\phi_0$ para una representación adecuada, para un elemento $g\in G$, con una validez mínima, si $\phi_0$ es un mínimo.
Sin embargo, si $G$ es espontáneamente rota a un subgrupo, $H$, se espera que sólo $D(h)\phi_0$ $h\in H$ a ser también válido mínimo, en lugar de que el grupo completo, $D(g)\phi_0$.
Por lo tanto, $D(gh)\phi_0 = D(g)\phi_0$ y podemos definir clases de equivalencia por el hecho de que $g_1 \sim g_2$ si y sólo si $g_2 = g_1 h$$h \in H$. Tales clases de equivalencia, se reconocerá como en el coset, $G/H$.
El vacío del colector es, entonces, simplemente, $\mathcal M = G/H$. Las propiedades globales de $\mathcal M$ son particularmente importantes en la física. Por ejemplo, en un espacio de tres dimensiones, los monopolos magnéticos sólo surgen si el grupo $\pi_2 (G/H)$ no es trivial.
Su segunda pregunta, cómo se podría ir sobre 'el uso de esta idea es sumamente amplio; ruptura espontánea de simetría surge en casi todas las ramas de la física matemática.
Aplicación
Ruptura espontánea de simetría puede ser utilizada como un mecanismo para dotar de masa campos con la misa, como es el caso con el mecanismo de Higgs en el Modelo Estándar.
Como un ejemplo, considere un $SO(3)$ teoría de gauge, con tres reales escalares, $\phi_i$, con Lagrange,
$$\mathcal L = -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2 + \frac12(\partial_\mu \phi_i - ig A^a_\mu \tau^a_{ij}\phi_j)^2 + \frac12 m^2 \phi^2_i - \frac{\lambda}{4!}(\phi_i)^4.$$
El potencial es minimizado por $|\langle \vec \phi\rangle|^2 = v^2 = 6m^2/\lambda$. Por un $SO(3)$ transformación, podemos elegir todos los componentes de $\vec \phi$ a desaparecer, excepto, $\langle \phi_3 \rangle = v$. Se puede comprobar que $\langle \vec \phi \rangle$ es invariante bajo $$H = SO(2) \subset G = SO(3).$$
$SO(2)$ $SO(3)$ difieren en el número de generadores en dos, dando lugar a dos bosones de Goldstone. Podemos ampliar el Lagrangiano para ver,
$$\mathcal L = -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2 + \frac{1}{4}g^2 A^a_\mu A^b_\mu \vec{v}^T \{\tau^a, \tau^b\}\vec{v}$$
y la inserción de la explícita generadores $\tau^a$ uno se encuentra,
$$\mathcal L = -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2 + \frac12 m_A^2(A^1_\mu A^1_\mu + A^2_\mu A^2_\mu)$$
donde hemos identificado una masa, $m_A^2 = g^2 v^2$. Por lo tanto, nos encontramos con la teoría posee una masa bosón de gauge, $A^3$ así como dos enormes bosones de gauge, $A^{1,2}$. Como usted viene de un contexto matemático, recuerda pensar de $A$ como una conexión, tomando valores en el álgebra de Lie del grupo gauge.
Una palabra final: Dado que el estado de sus propios intereses, de mentira en Mentira grupos y suave colectores, si la ruptura de simetría que es de interés para usted, entonces usted probablemente encontrará cosas como solitones, soliton módulos de espacios y de vacío, colectores de interés en su mayoría, y un buen libro es,
- J. Weinberg, Soluciones Clásicas en la Teoría Cuántica de campos, Cambridge University Press.
