Como la motivación del título, cuenta la forma de la función de $e^{-x}\left(x+\lfloor x\rfloor^2\right)$ como trazado de WolframAlpha:
Este ejercicio creo que es muy fácil, vamos a $\lfloor x\rfloor$ la función floor (... obviamente combinamos con esta función cuando queremos definir una integral del tipo erizo), entonces
$$\int_0^6 e^{-x}\left(x+\lfloor x\rfloor^2\right)dx=\sum_{k=1}^6\left(\int_{k-1}^k xe^{-x}dx+(k-1)^2\int_{k-1}^ke^{-x}dx\right),$$ by integrating by part the first summand we get $$\sum_{k=1}^6\left(e^{-k+1}-ke^{-k+1}+ke^{-k}-2e^{-k}-k^2e^{-k}+k^2e^{-k+1}\right)\approx 2.13235.$$ Realmente Wolfram Alpha de la calculadora en línea obtener la forma cerrada y está de acuerdo con mis cálculos. Sé que es el uso de series geométricas (y la variación de esos), si quieres ver la forma cerrada y obtener el tipo de comparación estos códigos, primero la integral
integrar e^(-x)(x+(floor(x))^2)dx, a partir de x=0 a x=6
y en segundo lugar, la suma finita que hemos obtenido
sum e^(-k+1)-k e^(-k+1)+k e^(-k)-2 e^(-k)-k^2 e^(-k)+k^2 e^(-k+1), k=1 a k=6
Ahora esta pregunta, tal vez no es importante, pero creo que es un buen ejercicio con el propósito de estar en un buen estado de ánimo
Pregunta. Se puede calcular como una forma cerrada, con todos los detalles de la infinita caso de un integrante de un erizo, este $$\int_0^\infty e^{-x}\left(x+\lfloor x\rfloor^2\right)dx?$$ Si usted cree que no es posible obtener una forma cerrada, usted nos puede proporcionar su aproximación. Muchas gracias.
