Demostrando que $m^2-n^2+1$ es un cuadrado

Question

Demostrar que si $m,n$ son enteros Impares tales que $m^2-n^2+1$ divide $n^2-1$ entonces $m^2-n^2+1$ es un número cuadrado.

Sé que se puede obtener una solución a partir del salto de Vieta, pero parece muy diferente a cualquier problema de salto de Vieta que haya visto. Para empezar, elegí $m=2a+1$ y y $n=2b+1$ lo que da como resultado: $$ 4ka^2+4ka-4kb^2-4kb+k = b^2+b$$ Entonces supongamos que $B$ es una solución, y $B_0$ es otra solución. Entonces usando el salto de Vieta obtenemos (con un poco de álgebra) que $B+B_0 = -1$ y $B_0 = \frac {-k(2a+1)^2}{B(4k+1)}$ .

Pero no estoy seguro de que estas igualdades finales sean especialmente útiles; no encuentro ninguna forma de obtener más soluciones a partir de ellas. ¿Cómo puedo resolver el problema? Probablemente también sea posible una solución sin saltos de Vieta

Answer 1

Bajo el supuesto de que el ratio de enteros es positivo:

LEMMA

Dados los enteros $$ M \geq m > 0, $$ junto con los enteros positivos $x,y$ con $$ x^2 - Mxy + y^2 = m. $$ Entonces $m$ es un cuadrado.

PRUEBA.

Primero hay que tener en cuenta que no podemos tener enteros $xy < 0$ con $ x^2 - Mxy + y^2 = m, $ desde entonces $ x^2 - Mxy + y^2 \geq 1 + M + 1 = M + 2 > m.$ Si tenemos una solución con $x > 0$ y $xy \leq 0,$ se deduce que $y=0.$

Esta es la parte de los saltos de la Vieta, con algún cuidado extra sobre las desigualdades. Comenzamos con $$ y > x $$ y $$ y < Mx. $$ Tenemos $$ x^2 - Mxy + y^2 > 0, $$ $$ x^2 > Mxy - y^2 = y(Mx - y) > x(Mx-y), $$ $$ x > Mx - y > 0. $$ Es decir, el salto $$ (x,y) \mapsto (Mx - y,x) $$ nos lleva de una solución ordenada a otra solución ordenada mientras disminuye estrictamente $x+y.$ Dentro de un número finito de estos saltos violamos las condiciones que estábamos preservando; llegamos a una solución $(x,y)$ con $y \geq Mx,$ es decir $x > 0$ pero $Mx-y \leq 0.$ Desde $(Mx - y,x) $ es otra solución que sabemos que $Mx-y = 0.$ Por lo tanto, $x^2 = m$ y $m$ es un cuadrado.

Supongamos que tenemos enteros Impares $m,n > 0$ tal que $$ \frac{n^2 - 1}{m^2 - n^2 + 1} = k > 0 $$ es un número entero. Entonces $$ k+1 = \frac{m^2 }{m^2 - n^2 + 1}. $$ Nombre $w = 1 + k,$ así que $$ w = \frac{m^2 }{m^2 - n^2 + 1}. $$ Nos quedamos con lo positivo $w$ para que podamos tomar $m \geq n >0.$ Cuando escribimos $$ m-n = 2x, $$ $$ m+n = 2y, $$ estamos introduciendo variables positivas. Entonces $m=x+y,$ $n = y - x,$ y $$ w = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4xy+1}, $$ $$ x^2 + 2xy+ y^2 = 4wxy + w, $$ $$ x^2 - (4w-2)xy + y^2 = w. $$ A partir del LEMA, encontramos que $w$ es un cuadrado. En $$ w = \frac{m^2 }{m^2 - n^2 + 1} $$ vemos que $$ m^2 - n^2 + 1 $$ también es un cuadrado.

Answer 2

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   1225   m-n    6      105       99     1225 = 5^2 * 7^2
   9801   m-n   10      495      485     9801 = 3^4 * 11^2
  38025   m-n   14     1365     1351     38025 = 3^2 * 5^2 * 13^2
 104329   m-n   18     2907     2889     104329 = 17^2 * 19^2
1413721   m-n  204     3567     3363     1413721 = 29^2 * 41^2
 233289   m-n   22     5313     5291     233289 = 3^2 * 7^2 * 23^2
 455625   m-n   26     8775     8749     455625 = 3^6 * 5^4
 808201   m-n   30    13485    13455     808201 = 29^2 * 31^2
1334025   m-n   34    19635    19601     1334025 = 3^2 * 5^2 * 7^2 * 11^2
2082249   m-n   38    27417    27379     2082249 = 3^2 * 13^2 * 37^2
3108169   m-n   42    37023    36981     3108169 = 41^2 * 43^2

La secuencia principal tiene $$ m = 32 w^3 + 48 w^2 + 22 w + 3, $$ $$ n = 32 w^3 + 48 w^2 + 18 w + 1, $$ $$ m^2 - n^2 + 1 = \left( (4w+1)(4w+3) \right)^2 $$ $$ n^2 - 1 = \; 4 \, w \; (w+1) \; \left( (4w+1)(4w+3) \right)^2 $$ Esto NO incluye

1413721   m-n  204     3567     3363     1413721 = 29^2 * 41^2

Answer 3

La prueba: En primer lugar, consideremos $n^2 - 1 = (d^2 - 1)(m^2 - n^2 + 1)$ , donde $d \mid m $ , $d$ es un divisor positivo de $m$ . Es fácil ver que en este caso $m^2 - n^2 + 1 = \left( \frac{m}d \right)^2 $ . Entonces basta con demostrar que estas son las únicas posibilidades de escritura $$ n^2 - 1 = k(m^2 - n^2 + 1), \hspace{3em} \text{ (*)}$$ donde $ k $ debe ser de la forma $ d^2 - 1$ .

Obsérvese que por (*) tenemos que $ k $ está limitada por $m^2 - 1$ . (Desde $ k \leqslant n^2 -1 \leqslant m^2 - 1 $ .) También por (*) observamos que $k m^2 = (k+1)(n^2 - 1)$ . $k$ debe ser uniforme, de lo contrario $ m $ no puede ser impar. Pero $ k+1 \nmid k $ , implica que debemos tener $ k + 1 \mid m^2 $ es decir, $ k $ debe ser de la forma $ d^2 - 1 $ . Q.E.D.

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Editar:

Necesita arreglar la brecha para el golpeado a través de la implicación.

Answer 4

He elaborado el lema que descarta los cocientes negativos. Se debe aplicar después de la empresa de escribir la suma y la diferencia del par de enteros impar como doble nuevas variables.

LEMMA

Dados los enteros $$ m > 0, \; \; M > m+2, $$ no hay números enteros $x,y$ con $$ x^2 - Mxy + y^2 = -m. $$

PROOF

Cálculo: $m+2 > \sqrt{4m+4},$ desde $(m+2)^2 = m^2 + 4m + 4,$ mientras que $\left( \sqrt{4m+4} \right)^2 = 4m + 4.$ Por lo tanto, también $$ M > \sqrt{4m+4} $$

No podemos tener $xy < 0,$ como entonces $x^2 - M xy + y^2 \geq 2 + M > 0. $ También es imposible tener $x=0$ o $y=0.$ A partir de ahora tomamos enteros $x,y > 0.$

Con $x^2 - Mxy + y^2 < 0,$ obtenemos $0 < x^2 < Mxy - y^2 = y(Mx - y),$ para que $Mx - y > 0$ y $y < Mx.$ También obtenemos $x < My.$

El punto de la hipérbola $ x^2 - Mxy + y^2 = -m $ tiene ambas coordenadas $x=y=t$ con $(2-M) t^2 = -m,$ $(M-2)t^2 = m,$ y $$ t^2 = \frac{m}{M-2}. $$ Exigimos $M > m+2$ así que $M-2 > m,$ por lo tanto $t < 1.$ Más importante de lo que parece a primera vista, que este punto esté dentro del cuadrado de la unidad.

Ahora empezamos a utilizar el punto de vista de Hurwitz (1907) . Todo es elemental, pero probablemente no nos resulte familiar. Vamos a encontrar soluciones enteras que minimicen $x+y.$ Si $2 y > M x,$ entonces $y > Mx-y.$ Por lo tanto, al saltar Vieta, la nueva solución dada por $$ (x,y) \mapsto (Mx - y, x) $$ da una menor $x+y$ valor. O, si $2x > My,$ $$ (x,y) \mapsto (y, My - x) $$ da una menor $x+y$ valor. Ya hemos establecido que se nos garantiza $My-x, Mx-y > 0.$

Por lo tanto, si hay alguna solución entera, el mínimo de $x+y$ se produce bajo las condiciones de Hurwitz para una solución fundamental (Grundlösung), a saber $$ 2y \leq Mx \; \; \; \; \mbox{AND} \; \; \; \; 2 x \leq My. $$ Ahora sólo jugamos con cosas del tipo de cálculo, que a lo largo del arco de la hipérbola delimitado por las desigualdades de Hurwitz, ya sea $x < 1$ o $y < 1,$ de modo que no puede haber ningún punto entero de la red a lo largo del arco. Ya hemos demostrado que el punto medio del arco se encuentra en $(t,t)$ con $t < 1.$ Sólo tenemos que confirmar que los puntos límite también tienen o bien pequeños $x$ o pequeño $y.$ Dado $y = Mx/2,$ con $$ x^2 - Mxy + y^2 = -m $$ se convierte en $$ x^2 - \frac{M^2}{2} x^2 + \frac{M^2}{4} x^2 = -m, $$ $$ x^2 \left( 1 - \frac{M^2}{4} \right) = -m $$ $$ x^2 = \frac{-m}{1 - \frac{M^2}{4}} = \frac{m}{ \frac{M^2}{4} - 1} = \frac{4m}{M^2 - 4}. $$ Ya hemos confirmado que $ M > \sqrt{4m+4}, $ así que $M^2 > 4m+4$ y $M^2 - 4 > 4m.$ Como resultado, $ \frac{4m}{M^2 - 4} < 1.$ La intersección de la hipérbola con la línea límite de Hurwitz $2y = Mx$ da un punto con $x < 1.$ Entre esto y el punto medio del arco, siempre tenemos $x < 1,$ por lo que no hay puntos enteros. Entre el punto medio del arco y el otro punto límite, siempre tenemos $y < 1.$ En conjunto, no hay puntos enteros en el arco delimitado. No hay soluciones fundamentales de Hurwitz. Por lo tanto, no hay soluciones enteras en absoluto.