¿$t$ De dónde viene en la solución de una ecuación diferencial críticamente amortiguada?

Question

A la hora de resolver homogénea de segundo orden de coeficientes constantes lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias ($ay''+by'+cy=0$), hay tres "casos" que las soluciones caigan en, basada en las raíces $r_1$, $r_2$ de la ecuación característica $ar^2+br+c=0$:

• $r_1, r_2 \in \Bbb R,\; r_1 \ne r_2$, alias "overdamped", por lo que la solución general es de la forma $y(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$.
• $r_1, r_2 \in \Bbb C,\; r_1=\overline{r_2}$, alias "underdamped", por lo que la solución general es de $y(t) = c_1 e^{\Re(r)\,t} \cos\Im(r)\,t + c_2 e^{\Re(r)\,t} \sin\Im(r)\,t$.
• $r_1, r_2 \in \Bbb R,\; r_1 = r_2$, también conocido como "críticamente amortiguado", por lo que la solución general es $y(t) = c_1 e^{rt} + c_2 t e^{rt}$.

Entiendo que la underdamped solución como esencialmente la misma cosa que el overdamped solución, equivalente a recoger compleja $c_1, c_2$ tal que $y(t)$ es siempre real. Pero el críticamente amortiguado caso no parece encajar perfectamente como una generalización de los otros casos - que extra 't' hace al menos aparecer como si fuera algo completamente distinto.

¿De dónde viene el "$t$" en realidad provienen de la críticamente amortiguado caso? ¿Por qué no los otros casos requieren o permiten esto?

Answer 1

Para un sistema críticamente amortiguado, tiene una doble raíz, de modo que la costumbre exponenciales $e^{r_1t}$ $e^{r_2t}$ de mezcla en $e^{rt}$ y no más de dos linealmente independientes de las funciones. Por lo tanto no pueden generar todas las soluciones.

Ahora si conecta $te^{rt}$ en la ecuación, se obtiene

$$a(2r+r^2t)e^{rt}+b(1+rt)e^{rt}+cte^{rt}=2ar+b+(ar^2+br+c)t.$$ The $t$ term obviously cancels out (whatever the damping), and so does the constant one because the double root verifies $2ar+b=0$.

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Una heurística de razonamiento puede justificar la elección de un término.

Deje que la amortiguación convergen a la crítica, con raíces $r$ $r+h$ acercando más y más. Se consideran dos soluciones independientes $e^{rt}$$e^{(r+h)t}-e^{rt}$, y amplificar la segunda para evitar la cancelación:

$$\lim_{h\to0}\frac{e^{(r+h)t}-e^{rt}}h=e^{rt}\lim_{h\to0}\frac{e^{ht}-1}h=e^{rt}t.$$

Answer 2

La teoría general garantiza una solución de dos dimensiones de espacio, cualquiera que sea el dado por los coeficientes de $a\ne0$, $b$, $c$. Si la ecuación característica tiene una doble raíz, obtenemos una solución de la forma $t\mapsto e^{\lambda t}$. Tiene que haber otras soluciones, y lo que ocurre es que el $t$ lanzado en obras.

Pero usted quiere saber por qué $t$, y no $\log t$, o algo aún más complicado. En este sentido, considere el siguiente ejemplo: $$y'' -\lambda y=0\ .$$ Si $\lambda\ne0$ tenemos dos diferentes valores de característica, a saber,$\lambda$$0$, y la solución general es $$y(t)=c_1 e^{\lambda t}+c_2\ .$$ El espacio de la solución ${\cal L}$ contiene, en particular, la función de $$y_{\rm special}(t):={e^{\lambda t}-1\over\lambda}\ .$$ Ahora, si el subyacente sistema dinámico es continuamente modificado (girando una perilla) tal que $\lambda\to0$, entonces esta solución especial se reunirán a $y_*(t)=t$. Es entonces plausible que esta $y_*(\cdot)$ en el hecho de ser una solución en el caso limitante.

Answer 3

No perdemos nada, empezando con la ecuación $$ y'' + 2by' + cy = 0, $$ dado que el coeficiente de $y''$ debe ser distinto de cero. Podemos proceder de dos formas distintas:

Reducción de la Orden

La forma más sencilla es suponer que las $\alpha$ es una raíz de la ecuación característica $k^2+2bk+c=0$, y el sustituto de la $ y=ue^{\alpha x} $. Esto le da $$ 0 = y'' + 2by' + cy = e^{\alpha x} \left( (\alpha^2+2b\alpha+c)u + u''+ 2(\alpha+b) u' \right). $$ El primer término en el soporte se desvanece desde $\alpha$ es un root, así que al final tienen que resolver $$ u'' + 2(\alpha+b)u' = 0, $$ un primer orden de la ecuación. Ahora, supongamos que el $\beta$ es la otra raíz de la ecuación característica. Tenemos $$ k^2+2bk+c = (k-\alpha)(k-\beta) = k^2 - (\alpha+\beta)k+\alpha\beta, $$ por lo $2b = -\alpha-\beta$. Por lo tanto la nueva ecuación diferencial puede escribirse como $$ u'' + (\alpha-\beta)u' = 0. $$ Ahora hay dos posibilidades:

• si $\alpha=\beta$, esto es $u''=0$, que tiene solución $At+B$
• por otro lado, si $\alpha \neq \beta$, esta ecuación se puede resolver usando el factor integrante $e^{(\alpha-\beta)x}$, por lo que $$ (e^{(\alpha-\beta)x}u')' = 0 \implies u' = Ae^{(\beta-\alpha)x}, $$ y por lo tanto $$ u = A\frac{e^{(\beta-\alpha)x}}{\beta-\alpha} +B, $$ que obviamente sólo funciona si $\alpha-\beta \neq 0$.

Límite del Problema de Valor Inicial

Una ecuación diferencial que normalmente viene con condiciones de contorno de algún tipo; el tipo que son más fáciles de usar aquí para la comprensión son las condiciones iniciales, dicen $y(0) = q$, $y'(0) = p $. Podemos escribir una solución general con la desigualdad de las raíces para este, $$ y = Ae^{-bx}\cos{\omega t} + B e^{-bx} \frac{\sin{\omega t}}{\omega}, $$ donde $\omega = \sqrt{c-b^2}$ es la raíz cuadrada del discriminante. (Esta solución funciona para ambas real y lo imaginario $\omega$, y siempre es real, porque de $(\sin{\omega t})/\omega$ real, en ambos casos). Tenga en cuenta que esto funciona porque la fórmula cuadrática da las raíces como $-b \pm i\omega$.

Ahora, la solución con la derecha condiciones iniciales puede ser encontrado $$ y = q e^{-bx}\cos{\omega t} + (p+bq) e^{-bx} \frac{\sin{\omega t}}{\omega} $$ mediante la resolución de las ecuaciones simultáneamente, y esto es una buena razón para escribir la solución en la forma que hicimos en el primer lugar. Ahora, podemos reescribir esto en términos de las raíces: $$ b = -\frac{\alpha+\beta}{2}, i\omega = \frac{\alpha-\beta}{2}, $$ donde elegimos que es $\alpha$ y $\beta$, de modo que el signo tiene sentido. (Desde $\cos{\omega t}$ $(\sin{\omega t})/\omega$ son ambos inclusive, en realidad no hace ninguna diferencia.)

El resultado de todo esto es que la toma de $\beta \to \alpha$ es lo mismo que $\omega$$0$. Tenemos los límites $$ \cos{\omega t} \to 1, \quad \frac{\sin{\omega t}}{\omega} \to t $$ como $\omega \to 0$, por lo que la solución asume la forma que queríamos.

La moraleja de la última historia es que $(\sin{\omega t})/\omega$ es la función importante a considerar en el problema del valor inicial, y tiene un límite que da la respuesta que esperamos. (Esta función también es importante en la teoría de Fourier, y la geometría de las superficies con curvatura constante, como es el caso.)

Answer 4

Dividiendo por el coeficiente de $a$, bien podemos asumir que nuestros oh.d.e. tiene la forma $$y'' + \beta y' + \gamma y = 0 .$$ Como usted dice, amortiguamiento crítico significa que el polinomio característico, $$r^2 + \beta r + \gamma,$$ tiene una doble raíz, dicen, $r_0$, por lo que $r^2 + \beta r + \gamma = (r - r_0)^2$; en particular, $\beta = - 2 r_0$$\gamma = r_0^2$. Ahora, la expansión de la l.h.s. de la ecuación diferencial $$(y e^{-r_0 t})'' = 0$$ mediante la aplicación de la Regla de Leibniz dos veces rendimientos $$e^{-r_0 t} (y'' - 2 r_0 y' + r_0^2 y) = 0 ,$$ y multiplicando por el factor exponencial y las expresiones anteriores para $\beta, \gamma$ muestra que esta ecuación diferencial es equivalente a nuestro original. Integrando dos veces por ambos lados de $$(y e^{-r_0 t})'' = 0$$ gives that $y e^{-r_0 t}$ is some affine function $t + b$, y multiplicando a través da la solución general $$y = e^{r_0 t}(a t + b)$$ como se desee.

Answer 5

Tenemos $a \ddot y + b \dot y + c y = 0$. Deje $x_1 := y$$x_2 := \dot y$. Por lo tanto,

$$\begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\frac ca & -\frac ba\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\end{bmatrix}$$

Más sucintamente,

$$\dot{\mathrm x} = \mathrm A \mathrm x$$

Vamos a un Jordania descomposición de $\mathrm A$$\mathrm A = \mathrm P \mathrm J \mathrm P^{-1}$. Deje $\eta := \mathrm P^{-1} x$. Por lo tanto, tenemos

$$\dot{\eta} = \mathrm J \eta$$

Integrando, obtenemos

$$\eta (t) = \exp(t \mathrm J) \, \eta_0$$

donde $\eta_0$ es un vector de condiciones iniciales. En el críticamente amortiguado caso, $\mathrm A$ es no-diagonalizable y, por lo tanto, $\mathrm J$ tiene un solo $2 \times 2$ Jordania bloque

$$\mathrm J = \begin{bmatrix} r & 1\\ 0 & r\end{bmatrix}$$

y, por lo tanto,

$$\exp(t \mathrm J) = \begin{bmatrix} e^{r t} & t \, e^{r t}\\ 0 & e^{r t}\end{bmatrix}$$

Si $r < 0$ y asumiendo un valor distinto de cero las condiciones iniciales, la cascada de dos fugas integradores con la misma constante de tiempo conduce a la (no oscilatorio) de resonancia. Por lo tanto, el $t$ multiplicando $e^{r t}$$t \, e^{r t}$.