Demostrar que $(A+B)^n = 0$

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sea $n \times n$ matrices reales tales que $A^n = B^n = 0$ y $AB = BA$ . Demostrar que $(A+B)^n = 0$ .

Tenemos $$(A+B)^n = A^n+A^{n-1}B\binom{n}{1}+\cdots+AB^{n-1}\binom{n}{n-1}+B^n.$$ Intenté probar esto por si acaso $n = 2$ . Tenemos $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 = 2AB$ desde $A^2 = B^2 = 0$ . Entonces no vi cómo mostrar que $AB = 0$ .

Answer 1

Desde $A$ y $B$ conmutan, se pueden triangular simultáneamente sobre $\mathbb{C}$ . En otras palabras, existe una matriz invertible $P$ y las matrices triangulares superiores $T$ y $U$ tal que $$T=P^{-1}AP$$ y $$U=P^{-1}BP$$ Además, como $$T^n=P^{-1}A^nP=0$$ se deduce que $T$ debe ser estrictamente triangular superior (es decir, no tiene entradas distintas de cero en su diagonal), y de forma similar $U$ debe ser estrictamente triangular superior también.

Por lo tanto, $T+U$ es estrictamente triangular superior, por lo que $(T+U)^n=0$ Por lo tanto $$(A+B)^n=P(T+U)^nP^{-1}=0$$

Answer 2

Si amplía $(A+B)^{2n}$ con el teorema del binomio, verás que $A^n=B^n=0$ implica que cada término es $0$ porque cada término tiene $A^j B^k$ donde $j\geq n$ o $k\geq n$ . Por lo tanto, $A+B$ es una matriz nilpotente. Si $C$ es un $n$ -por- $n$ matriz nilpotente, entonces $C^n=0$ .