¿Por qué "característico " cero" y no "infinito"característico?

Question

La característica de un anillo (con unidad, digamos) es el número positivo menor que $n$ tal que $$\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n \text{ times}} = 0,$$ provided such an $n$ exists. Otherwise, we define it to be $0$.

Pero, ¿por qué característica cero? ¿Por qué nosotros no definimos ser $\infty$ lugar? Bajo esta definición alternativa, la característica de un anillo es simplemente el "orden" de la aditivo grupo cíclico generado por la unidad el elemento $1$.

Mi sensación es que hay un preciso y convincente explicación de la convención común, pero ninguno viene a la mente. No pude encontrar la respuesta en el artículo de la Wikipedia.

Answer 1

Hay dos órdenes de la set $\mathbb N = \{0,1,\dots\}$:

• magnitud $a \leq b$
• divisibilidad $a\mid b$ ($\exists c. b = a c$)

La mayoría son compatibles - generalmente al $a \mid b$, tiene $a \leq b$.

Algunas definiciones se formulan utilizando "mayor que" realización de pedidos, mientras que en realidad la "divisibilidad" el orden es la esencia real.

Por ejemplo, el máximo común divisor de a $a$ $b$ podría ser definido como el número más grande que es un divisor común de ambos $a$$b$. Característica de un anillo de $R$ podría ser definido como el número más pequeño $n>0$ que satisface $n \cdot 1 = 0$.

Bajo tales enseña comúnmente definiciones, parece natural que las $\operatorname{gcd}(0,0)=\infty$$\operatorname{char} \mathbb Z = \infty$.

Sin embargo, estas definiciones implícitamente se basan en los ideales, y son mejores enunciado de uso de la divisibilidad de la orden. La incompatibilidad es más visible: $0$ es el elemento más grande en la divisibilidad de la orden, mientras que es menor en orden de magnitud. Magnitud no tiene ningún elemento más grande, y, a menudo, $\infty$ es añadido a la cubierta de este caso.

Así que vamos a formular las definiciones de nuevo, pero esta vez usando la divisibilidad de pedidos.

• El máximo común divisor de dos números de $a,b$ es el número más grande (en el sentido de $\mid$) que es un divisor de a $a$ $b$ (es decir, es menor que $a$ $b$ en la divisibilidad de pedido). Este es más bonito - $\operatorname{gcd}$ es ahora el $\wedge$ operador en celosía $(\mathbb N, \mid)$; también forma una monoid, con $0$ como elemento de identidad. Además, la definición puede ser adaptado a cualquier anillo.
• La característica de un anillo de $R$ es el menor número $n$ (en el sentido de $\mid$) que satisface $n \cdot 1 =0$. Como un bono, en comparación con la anterior definición, podemos quitar el $n>0$ restricción: el cero es siempre válido "annihilator" pero a menudo no es la más pequeña. Ahora llegamos $\operatorname{char} \mathbb Z = 0$.

Característica es una "multiplicación" noción, como mcd. Si usted tiene un homomorphism de los anillos de $f: A \to B$, debe aguantar $\operatorname{char} B \mid \operatorname{char} A$. Por ejemplo, usted no puede asignar ${\mathbb Z}_2$ ${\mathbb Z}_4$- en un sentido, ${\mathbb Z}_2$ es "más pequeño" que ${\mathbb Z}_4$. "Más grande" anillos "más divisible" característica, sus características son mayores en el sentido de divisibilidad. Y la mayoría de "divisible" el número es 0. Otro ejemplo es $\operatorname{char} A \times B = \operatorname{lcm}(\operatorname{char} A, \operatorname{char} B)$.

En un poco más del lenguaje abstracto: dado cualquier ideal $I \subseteq \mathbb Z$, podemos asociar a que es el más pequeño elemento positivo, en virtud de la divisibilidad de la orden. Por las propiedades de la $\mathbb Z$, todos los otros elementos de $I$ es un múltiplo de la misma. Vamos a llamar a este número $\operatorname{min}(I)$.

Ahora podemos definir $\operatorname{gcd}(a,b)=\operatorname{min} ((a) + (b))$, e $\operatorname{char} R = \min (\ker f)$ donde $f \colon \mathbb Z \to R$ es la canónica mapa.

La definición de $\operatorname{min}(I)$ funciona para cualquier PID, que no requiere de orden de magnitud. En cualquier PID, $I = (\operatorname{min}(I))$.

(No me gusta decir el ideal de $\{0\}$ es "generada" por $0$; aunque esto es cierto, también generado por el conjunto vacío. No decimos que el $(2)$ es generado por $0$$2$.)

Answer 2

Dado un anillo de $R$ hay un anillo único homomorphism $\varphi:\mathbb Z\to R$. La característica de $R$ es la canónica, no negativo) generador de $\ker \varphi$.

Answer 3

1. Considere la siguiente instrucción:

   Deje $n\geq 0$. La característica de $R$ $n$ si y sólo si $ka=0$ todos los $a\in R$ implica $n|k$.

   La declaración tiene por característica positiva, pero también tiene carácter $0$, ya que el $0$ es el único múltiplo de $0$. Esto no vale para cualquier anillo si se define la característica de ser $\infty$. Esta definición también tiene sentido para los anillos sin $1$.

2. Para los anillos con unidad, las definiciones de la siguiente manera, como se indica por lhf: la característica de $R$ es no negativo del generador del núcleo de la canónica mapa de$\mathbb{Z}$$R$.

Answer 4

Recordemos que una R-álgebra a es un anillo que contiene una imagen central del anillo R. Esta imagen es $\,\cong$ R/I por lo que se caracteriza por el kernel I. Por ejemplo, si R = $\mathbb Z$, a continuación, una R-álgebra es simplemente un anillo, y el kernel $\rm\ I = (n)\ $ caracteriza a la canónica de la imagen de $\mathbb Z$ en Una, a través de $\rm 1\mapsto 1_A.\,$ Por lo tanto, decimos que a tiene la característica n porque n caracteriza el canónica de la imagen de $\:\mathbb Z\:$ en A.

Comentario $\ $ De las nociones generales de "la característica de los anillos" ver más abajo - extracto aquí.

W. D. Burgess; P. N. Stewart. El característico anillo y la "mejor" manera de unirse a uno.
J. Austral. De matemáticas. Soc. 47 (1989) 483-496. $\ \ $

Answer 5

No sólo la adición de 1 infinitamente veces en un campo que no tenga sentido, pero también si la adición de 1 un número positivo de veces nunca rendimientos de cero, entonces sin duda la adición de cero veces los rendimientos de cero, por lo que sólo parece natural para referirse a un campo así como "la característica cero".