Hay dos órdenes de la set $\mathbb N = \{0,1,\dots\}$:
- magnitud $a \leq b$
- divisibilidad $a\mid b$ ($\exists c. b = a c$)
La mayoría son compatibles - generalmente al $a \mid b$, tiene $a \leq b$.
Algunas definiciones se formulan utilizando "mayor que" realización de pedidos, mientras que en realidad la "divisibilidad" el orden es la esencia real.
Por ejemplo, el máximo común divisor de a $a$ $b$ podría ser definido como el número más grande que es un divisor común de ambos $a$$b$. Característica de un anillo de $R$ podría ser definido como el número más pequeño $n>0$ que satisface $n \cdot 1 = 0$.
Bajo tales enseña comúnmente definiciones, parece natural que las $\operatorname{gcd}(0,0)=\infty$$\operatorname{char} \mathbb Z = \infty$.
Sin embargo, estas definiciones implícitamente se basan en los ideales, y son mejores enunciado de uso de la divisibilidad de la orden. La incompatibilidad es más visible: $0$ es el elemento más grande en la divisibilidad de la orden, mientras que es menor en orden de magnitud. Magnitud no tiene ningún elemento más grande, y, a menudo, $\infty$ es añadido a la cubierta de este caso.
Así que vamos a formular las definiciones de nuevo, pero esta vez usando la divisibilidad de pedidos.
- El máximo común divisor de dos números de $a,b$ es el número más grande (en el sentido de $\mid$) que es un divisor de a $a$ $b$ (es decir, es menor que $a$ $b$ en la divisibilidad de pedido). Este es más bonito - $\operatorname{gcd}$ es ahora el $\wedge$ operador en celosía $(\mathbb N, \mid)$; también forma una monoid, con $0$ como elemento de identidad. Además, la definición puede ser adaptado a cualquier anillo.
- La característica de un anillo de $R$ es el menor número $n$ (en el sentido de $\mid$) que satisface $n \cdot 1 =0$. Como un bono, en comparación con la anterior definición, podemos quitar el $n>0$ restricción: el cero es siempre válido "annihilator" pero a menudo no es la más pequeña. Ahora llegamos $\operatorname{char} \mathbb Z = 0$.
Característica es una "multiplicación" noción, como mcd. Si usted tiene un homomorphism de los anillos de $f: A \to B$, debe aguantar $\operatorname{char} B \mid \operatorname{char} A$. Por ejemplo, usted no puede asignar ${\mathbb Z}_2$ ${\mathbb Z}_4$- en un sentido, ${\mathbb Z}_2$ es "más pequeño" que ${\mathbb Z}_4$. "Más grande" anillos "más divisible" característica, sus características son mayores en el sentido de divisibilidad. Y la mayoría de "divisible" el número es 0. Otro ejemplo es $\operatorname{char} A \times B = \operatorname{lcm}(\operatorname{char} A, \operatorname{char} B)$.
En un poco más del lenguaje abstracto: dado cualquier ideal $I \subseteq \mathbb Z$, podemos asociar a que es el más pequeño elemento positivo, en virtud de la divisibilidad de la orden. Por las propiedades de la $\mathbb Z$, todos los otros elementos de $I$ es un múltiplo de la misma. Vamos a llamar a este número $\operatorname{min}(I)$.
Ahora podemos definir $\operatorname{gcd}(a,b)=\operatorname{min} ((a) + (b))$, e $\operatorname{char} R = \min (\ker f)$ donde $f \colon \mathbb Z \to R$ es la canónica mapa.
La definición de $\operatorname{min}(I)$ funciona para cualquier PID, que no requiere de orden de magnitud. En cualquier PID, $I = (\operatorname{min}(I))$.
(No me gusta decir el ideal de $\{0\}$ es "generada" por $0$; aunque esto es cierto, también generado por el conjunto vacío. No decimos que el $(2)$ es generado por $0$$2$.)
