El tamaño del conjunto de matrices con radio espectral menor que 1

Question

Consideremos el conjunto de todas las matrices con radio espectral $<1$, denotado $\mathcal C=\{A\in \mathbb{C}^{n\times n}:\rho(A)<1\}$. Este es un conjunto interesante, en parte porque $A\in \mathcal C\iff \lim\limits_{k\to\infty} A^k= 0$. Parece difícil describir la geometría de $\mathcal C$, pero preguntemos sobre su tamaño en términos de la medida de Lebesgue $\mu$ en $\mathbb{C}^{n\times n}.

Pregunta: ¿Cuál es el comportamiento asintótico de $\mu(\mathcal C\cap \{A:\|A\|\le r\})$ a medida que $r\to\infty$? (Es decir, ¿es algún poder de $r$, o $\log r$, etc?)

Observaciones

1. No importa qué norma de matriz se use aquí, ya que todas son equivalentes.
2. Excluyamos el caso trivial $n=1$.
3. $\mu(\mathcal C)=\infty$, lo cual se puede demostrar de la siguiente manera. Sea $\epsilon>0$ tal que cualquier matriz $n\times n$ con todas las entradas satisfaciendo $|a_{ij}|<\epsilon$ tenga radio espectral menor que $1$. Denotemos por $\mathcal E$ el conjunto de matrices con todas las entradas entre $\epsilon/2$ y $\epsilon$ en valor absoluto. Sea $D$ la matriz diagonal con entradas diagonales $(2,1,\dots,1)$. Entonces los conjuntos $D^k\mathcal E D^{-k}$, $k\in\mathbb Z$, son disjuntos, tienen la misma medida de Lebesgue (positiva), y están contenidos en $\mathcal C$. La afirmación sigue.
4. El argumento en el ítem 3 muestra que $\mu(\mathcal C\cap \{A:\|A\|\le r\}) \gtrsim \log r.

Answer 1

Para un límite superior (quizás no muy bueno), se nota que $\rho(A) \ge |\text{trace}(A)|/n$. Si usamos la norma de Frobenius, con $A$ elegido de forma uniforme en la bola $B_R$ de radio $R$, $\text{trace}(A)$ es el producto punto del $A$ vectorizado con un vector de norma $\sqrt{n}$, por lo que con $V_{m}(r) = \pi^{m/2} r^{m}/\Gamma(1+m/2)$ el volumen $m$-dimensional de una bola de radio $r$ en $\mathbb{R}^m$,
$$ \eqalign{\mu(B_R \cap \{\rho(A) \le 1\}) \le \mu(B_R \cap \{|\text{trace}(A)| \le n\}) &= \int_{-\sqrt{n}}^{\sqrt{n}} dt\; V_{n^2-1}(\sqrt{R^2 - t^2})\cr &\sim c(n) R^{n^2-1} }$$ donde $c(n)$ es una constante positiva que depende de $n.