¿Qué es un método no numérica para determinar este límite?

Question

Recientemente aprendí %#% $ #%

¿Hay una manera de demostrarlo que no sea numérica?

Answer 1

Definición de derivada aplicado a la función $\sqrt{1+x}$ $x=0$.

Answer 2

Sugerencia: se multiplican numerador y denominador por $$\sqrt{x+1}+1 y simplificar

Answer 3

Hay un número de maneras inteligentes para probar este límite, como se muestra en las otras respuestas. Pero no olvide que usted puede siempre volver a la definición de un límite.

Para demostrar que el límite de $f(x)$ $x$ se aproxima a cero es $\frac{1}{2}$ usted debe demostrar que para cualquier elección de un valor positivo $ε$ existe un $δ$ tal que $-δ < x < δ$ implica que el $-ε < f(x) - \frac{1}{2} < ε$. Es decir, si queremos ser dentro de $ε$ del límite, entonces podemos garantizar que somos nosotros, si están dentro de δ de cero.

Aquí, te voy a dar la respuesta: si $0 < ε < \frac{1}{2}$ $δ = ε$ es un intervalo. Se puede demostrar que hecho? (Tenga en cuenta que va a ayudar a recordar que, en su caso, $f(x) - \frac{1}{2}$ tiene el signo opuesto de $x$.)

ACTUALIZACIÓN: El cartel original le pide alguna aclaración.

Vamos a hacerlo desde un lado. Supongamos WOLOG $0 < x < ε < \frac{1}{2}$.

Queremos mostrar que $-ε < f(x) - \frac{1}{2} < ε$.

Sabemos que para los positivos $x$, $f(x) - \frac{1}{2} < 0 < ε$ (deja como ejercicio).

Así que todos tenemos que demostrar es que el $-ε < f(x) - \frac{1}{2}$.

Deje $t = \frac{1}{2} - ε$. Tenga en cuenta que $0 < t < \frac{1}{2}$

$0 < x < ε < 2ε < \frac{2ε}{t^2}$

Multiplicar ambos lados por el (positivo) denominador:

$0 < t^2 x < 2ε$

Agregar cantidad positiva $2t = 1 - 2ε$ a ambos lados:

$0 < t^2 x + 2t < 1$

Multiplicar ambos lados por cantidad positiva $x$:

$0 < t^2 x^2 + 2t x < x$

Agregar uno a ambos lados:

$0 < t^2 x^2 + 2tx + 1 < x + 1$

Oh, qué casualidad, tenemos un cuadrado perfecto en el lado izquierdo:

$0 < (tx + 1)^2 < x + 1$

Somos justificados a tomar la raíz cuadrada de ambos lados:

$0 < tx + 1 < \sqrt{x + 1}$

Restar uno; todo es positivo.

$0 < tx < \sqrt{x + 1} - 1$

Dividir por la cantidad positiva de x.

$0 < t < \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

O

$0 < \frac{1}{2} - ε < f(x)$

Restar la media de ambos lados y tenemos

-$\frac{1}{2} < -ε < f(x) - \frac{1}{2} < 0 < ε$

que es lo que estaban obligados a probar. Ahora lo hace para $-ε < x < 0$, que es sorprendentemente similar, y usted tiene el límite de ambos lados.

Answer 4

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ $ Multiplicando numerador y denominador por % $$$ {\sqrt{1+x}+1} $$de$$ \lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)({\sqrt{1+x}+1)}}{x{(\sqrt{1+x}+1})}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1}{x{(\sqrt{1+x}+1})}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=1/2$ $ que da

Answer 5

Sustituto $x = z^2 - 1$ a deshacerse de la raíz cuadrada y obtener

$$\begin{align*} = \lim_{z \to 1}\ \frac{\lvert z \rvert - 1}{z^2 - 1} = \lim_{z \to 1}\ \frac{z - 1}{z^2 - 1} = \lim_{z \to 1}\ \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

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Editar:

Como Paul Sinclair se indica más abajo, el de arriba no es una prueba, ya que no es demostrar la sustitución de $x = z^2 - 1$ es válido (para algunos problemas no). Así que lo que mostraron es simplemente una evaluación truco.
(No estoy seguro de si hay una manera de demostrar que es válido que es más fácil solucionar el problema original.)

Sin embargo, resulta que hay una manera más fácil sustitución que simplemente no puede fallar-es decir, $x = z - 1$:

$$\begin{align*} \ldots = \lim_{z \to 1}\ \frac{\sqrt{z} - 1}{z - 1} = \lim_{z \to 1}\ \frac{\sqrt{z} - 1}{(\sqrt{z} - 1)(\sqrt{z} + 1)} = \lim_{z \to 1}\ \frac{1}{\sqrt{z} + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$