¿Existen todos los trazados que siempre mostrará si hay un límite?

Question

Estoy tratando de hacer límites en 3D y me pregunto si hay o no hay caminos por los que el límite de cualquier función en cualquier punto, siempre se puede encontrar. En mi libro no está claro si este existe o no existe; tampoco es claro cómo elegir una ruta de acceso si este no existe.

En el libro que reemplace $y$ $kx$ mucho, pero a veces sustituyen a $x$ $y$ $0$ por separado, y en ocasiones utilizan $x^2$.

He visto que algunas personas ya han pedido preguntas similares pero acerca de las fórmulas específicas y yo no se puede vincular la que para mi la pregunta exacta.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Sé lo que estás pidiendo, y la respuesta es "no" (advertencia después de leer los comentarios: Hay caminos que hacer a la conclusión de que, lo que es más importante llamado espacio-llenado de curvas, pero la mayoría son de valor teórico, y rara vez ayuda en los cálculos). La comprobación de diferentes (simple) rutas de acceso no es suficiente para demostrar que un límite existe. Es bueno para dos cosas:

1. Encontrar un candidato límite. Si tienes que elegir un camino, y calcular el límite a lo largo de ese camino, entonces usted tiene un candidato para lo que el límite podría ser. La mayoría de limitar los cálculos se vuelven más fácil una vez que usted tiene un hormigón del candidato a comprobar.
2. Mostrando que no hay límite. Si dos diferentes rutas de crear dos diferentes candidatos, o si una sola paga no da un límite, entonces no puede haber un solo valor límite en el punto dado.

El ejemplo estándar es $$ f(x,y)=\casos{0&si $x=y=0$\\\frac{2x^2y}{x^4+y^2}&lo contrario} $$for which every line through the origin says that the limit at the origin is $0$, while the parabola $y=x^2$ says that the limit is $1$. In general, there is no way of knowing that there isn't such a "different path". For instance, this example is not difficult to change into one where the path that gives $1$ is $y=x^{10}$ en su lugar. ¿Cómo se sabe en general que no hay un camino oculto en algún lugar? Eso es imposible sin demostrar el límite general en el primer lugar.

Answer 2

Me corrija si estoy equivocado, pero creo que la existencia de un límite de hecho puede ser visto por sólo mirar una sola ruta, si es cierto que un extraño camino.

Digamos que usted quiere saber si $f$ tiene un límite en $(0,0)\in\mathbb{R}^2$. Deje $\gamma_1$ ser un espacio de llenado de la curva, es decir, un camino cuya imagen es el (todo!) plaza de $[-1,1]^2$. Deje $\gamma_n:=\gamma_1/n$, es decir, un camino cuya imagen es el cuadrado de lado longitudes $2/n$. Por último, vamos a $\gamma$ ser la concatenación de todos los caminos, con segmentos de recta que conecta el final de la $\gamma_{n-1}$ con el inicio de $\gamma_n$. Usted puede hacer todo esto de tal manera que $\gamma$ se define en $[0,1]$ $\gamma(1)=(0,0)$

Ahora si $f$ tiene un límite en$(0,0)$, $f\circ \gamma$ tendrán el mismo límite, como $\gamma$ después de algún tiempo va a vivir en la plaza de la $[-1/n,1/n]$ solamente. Por el contrario, si $f\circ \gamma$ tiene un límite de $a$, entonces también lo hace $f$ $(0,0)$ ya que si no existiera $x_n\to (0,0)$, $f(x_n)\not\to a$ a continuación, $(f\circ\gamma)(y_n)\not\to a$ donde $y_n$ se eligen de modo que $\gamma(y_n)=x_n$ $y_n\to 1$ (lo cual es posible por surjectivity de cada una de las $\gamma_n$ en un barrio de $(0,0)$.)

La viabilidad de este enfoque para verificar los límites de mano es, por supuesto, limitada, pero estamos matemáticos, después de todo.

Answer 3

Interesante teorema no trivial (versión simplificada del teorema 5 en Límites utilizando coordenadas polares, La Gaceta de la RSME, v. 7, n. 2.):

Que sea $f$ definido en un barrio de $(0,0)$, $F(r,\theta) = f(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Tenemos la siguiente equivalencia:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = L\iff \forall\bar{\theta}\in[0,2\pi] \lim_{(r,\theta)\to(0,\bar{\theta})}F(r,\theta) = L.$ $ (el segundo límite no es un límite direccional)

El ingrediente esencial de la prueba es que $[0,2\pi]$ es compacto.

Answer 4

Voy a añadir esto porque algunas son al parecer tiene problemas para entender cómo llenar los detalles de Bananach la idea, y no puede ser explicado en su totalidad en 500 caracteres comentarios. No es realmente una respuesta a la OP en mi opinión, mientras que Bananach del método funciona en la teoría, es totalmente impráctico para la real verificación de que dado el doble límite de converge, que parece ser lo que el calcstudent es después.

Aún así, es un muy buen resultado teórico. Así que espero que me perdones, para intentar darle la audiencia creo que se merece. Por supuesto, voy a incluir mi modificación que se ocupa de Hurkyl preocupaciones.

Empezamos con el conocido resultado de Peano.

Teorema: existe una curva de $\alpha : [0,1] \to [0,1]^2$ que es a la vez continuo y surjective.

Las pruebas abundan. Por ejemplo: http://www4.ncsu.edu/~njrose/pdfFiles/HilbertCurve.pdf

Un par de rápidos pero útil expansiones:

Corolario: Para cualquier real $a,b,c,d$$a < b, c<d$, hay una curva de $\alpha_1 : [0,1] \to [a,b]\times[c,d]$ que es continua y surjective.

Prueba: El mapa de $f : [0,1]^2 \to [a,b]\times[c,d] : (x, y) \to (a + (b-a)x,~c + (d-c)y)$ es un continuo bijection, por lo $\alpha_1 = f\circ \alpha$ va a hacer.

Corolario: Para cualquier real $a,b,c,d$ $a < b, c<d$ y puntos de $u, v \in [a,b]\times[c,d]$ hay una curva de $\alpha_2 : [0,1] \to [a,b]\times[c,d]$ que es continua y surjective, con $\alpha_2(0) = u$$\alpha_2(1) = v$.

Prueba: Dado que los rectángulos son convexas, $$\alpha_2(t) = \begin{cases} u + 3t(\alpha_1(0) - u) & 0 \le t \le \frac 13\\ \alpha_1(3t - 1) & \frac 13 \le t \le \frac 23\\ \alpha_1(1) + (3t - 2)(v -\alpha_1(1)) & \frac 23 \le t \le 1\end{casos}$$ va a trabajar. (Para aquellos que se resisten a la doble definiciones para los empalmes, estoy afirmando que las dos definiciones coinciden, como se comprueba fácilmente. Esto es útil para asegurar la continuidad.)

Lema: Vamos A $A = \{(x,y) \in [-1,1]^2 : |x| \ge 1/2 \text{ or } |y| \ge 1/2\}$. A continuación, hay una curva de $\beta : [0,1] \to A$ que es continua y surjective, con $\beta(0) = (1,1)$$\beta(1) = (1/2, 1/2)$.

Prueba: Supongamos $$B = [-1,1] \times [1/2,1]\\C = [-1, -1/2]\times[-1, 1/2]\\D = [-1/2, 1]\times[-1,-1/2]\\E = [1/2,1]\times[-1/2,1/2]$$ A continuación,$A = B \cup C \cup D \cup E$.

Por lo tanto, por el corolario anterior, hay continuas surjective curvas de $\beta_B : [0,1] \to B,~\beta_C : [0,1] \to C,~\beta_D:[0,1]\to D,~\beta_E:[0,1]\to E$ con $$\beta_B(0) = (1,1)\\\beta_B(1) = \beta_C(0) = (-1, 1/2)\\\beta_C(1) = \beta_D(0) = (-1/2, -1)\\\beta_D(1) = \beta_E(0) = (1, -1/2)\\\beta_E(0) = (1/2, 1/2)$$ Definir $$\beta(t) = \begin{cases} \beta_B(4t) & 0 \le t \le 1/4\\ \beta_C(4t - 1) & 1/4 \le t \le 1/2\\ \beta_D(4t - 2) & 1/2 \le t \le 3/4\\ \beta_D(4t - 3) & 3/4 \le t \le 1 \end{casos}$$ La continuidad y la surjectivity de $\beta$ son claras.

Teorema: Existe un continuo surjective curva de $\gamma : [0,1] \to [-1,1]^2$ tal que

1. $\gamma(1) = (0,0)$ , y para todos los $t < 1, \gamma(t) \ne 0$.
2. para todos $n \in \Bbb N$, $\gamma([1 - 2^{-n}, 1]) = [-2^{-n},2^{-n}]^2$

Prueba: Definir $\gamma(1) = 0$, y para todos los $k \in \Bbb N$$t \in [1-2^{-k},1-2^{-k-1}]$, definir $$\gamma(t) = 2^{-k}\beta(2^{k+1}(t-1) + 2)$$ Desde $\beta \ne (0,0)$ en cualquier parte de su gama, se deduce que el $\gamma(t) \ne (0,0)$ estos $t$. Desde $\bigcup_{k\in\Bbb N} [1-2^{-k},1-2^{-k-1}] = [0,1)$, la parte 1 está satisfecho, siempre que $\gamma$ está bien definido.

Tenga en cuenta que si $t = 1 - 2^{-n}$, luego se encuentra en 2 de los intervalos: $k = n$ $t = 1 - 2^{-k}$ es el extremo inferior, o $k = n-1$ $t = 1- 2^{-k-1}$ es la parte superior del extremo. Todos los demás valores de $t > 0$ mentira en sólo uno de los intervalos.

Si $k = n$, $$\gamma(t) = 2^{-n}\beta(2^{n+1}(-2^{-n}) + 2) = 2^{-n}\beta(-2+2) = 2^{-n}(1,1) = (2^{-n}, 2^{-n})$$ Mientras que dejan $k = n-1$ da $$\gamma(t) = 2^{1-n}\beta(2^n(-2^{-n}) + 2) = 2^{1-n}\beta(-1+2) = 2^{1-n}(1/2,1/2) = (2^{-n}, 2^{-n})$$

Por lo $\gamma(t)$ está bien definido en la solapa, y desde $\gamma$ es continua en cada intervalo y tiene el mismo valor en la solapa, se sigue que $\gamma$ es continua en todas partes en $[0,1)$.

Ahora, si por alguna $n,~ 1 - 2^{-n} \le t < 1$, entonces no es un $k \ge n$ $t \in [1-2^{-k},1-2^{-k-1}]$ $$\gamma(t) \in 2^{-k}[-1,1]^2 = [-2^{-k},2^{-k}]^2 \subseteq [-2^{-n},2^{-n}]^2$$ desde $[-1,1]^2$ es el codominio de $\beta$. Desde $\gamma(1) = (0,0), we have $\gamma([1 - 2^{-n},1]) \subseteq [-2^{-n},2^{-n}]^2$

Por el contrario, si $(0,0) \ne (x,y) \in [-2^{-n},2^{-n}], let $k = min {m\mid 2^{m-1} \le |x| \text{ o } 2^{m-1} \le |y|}. A continuación, $1 > |2^kx|, ~1 > |2^ky|$ (de lo contrario $k-1$ sería en el conjunto), y al menos uno de $|2^kx|$$|2^ky|$$\ge 1/2$. Por lo $(2^kx, 2^ky) \in A$, el codominio de $\beta$. Por lo tanto, hay un $t_0 \in [0,1]$$\beta(t_0) = (2^kx, 2^ky)$. Deje $t = 2^{-k-1}(t_0 - 2) + 1$. A continuación,$1-2^{-k} \le t \le 1 - 2^{-k-1}$, e $\gamma(t) = (x,y)$. Desde $k \ge n, 1-2^{-n} \le 1-2^{-k}$, y por lo $[-2^{-n},2^{-n}]^2 \subseteq \gamma([1-2^{-n},1])$, lo que demuestra la condición 2.

Todo lo que remaims es demostrar $\gamma$ es continua en a $1$. Deje $\epsilon > 0$, y elija $n$ suficientemente grande como para que $[-2^{-n},2^{-n}]^2$ se encuentra dentro de la bola de radio $\epsilon$$(0,0)$. Deje $\delta = 2^{-n}$. Para $t\in[0,1]$ si $|1-t| < \delta$$t \in [1- 2^{-n},1]$, lo $\gamma(t) \in [-2^{-n},2^{-n}]^2 \subseteq B_\epsilon((0,0))$, por lo que es continua en a $1$.

Por último, para responder a la pregunta:

Teorema: Vamos a $f$ ser un valor real de la función definida en una vecindad de a$(0,0)$$\Bbb R^2$. Entonces $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$$ converges if and only if $$\lim_{t\to 1} f\circ\gamma(t)$$ converge, en cuyo caso tienen el mismo límite.

Prueba: Desde $\lim_{t\to1} \gamma(t) = (0,0)$, la convergencia de la primer límite implica la segunda. Queda por demostrar que la convergencia de la segunda implica la primera.

Supongamos que $\lim_{t\to 1} f\circ\gamma(t) = L$ y deje $\epsilon > 0$. Luego hay un $\delta_0$ que si $1 - \delta_0 < t \le 1$$|f\circ\gamma(t) - L| < \epsilon$. Y hay un $n$ tal que $2^{-n} < \delta_0$. Deje $\delta = 2^{-n}$. Si $0 < |(x,y) - (0,0)| <\delta$, luego, en particular, $(x,y) \in [-2^{-n},2^{-n}]$, por lo que hay un $t \in [1- 2^{-n}, 1]$ tal que $\gamma(t) = (x,y)$. Desde $(x,y) \ne (0,0), t \ne 1$. Por lo $0<|t - 1| \le 2^{-n} < \delta_0$, lo $|f(\gamma(t)) - L| < \epsilon$. I. e., $|f(x,y) - L| < \epsilon$. Por lo tanto, $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = L$ $ como se requiere.