¿Es que el límite de los dos espacios el espacio dual del límite?

Question

Nota: Cuando digo "doble espacio" en esta pregunta, me refiero a la algebraica del espacio dual.

Considere la posibilidad de un infinito-dimensional espacio vectorial $V$. Ya que es infinito-dimensional, en su doble-doble $V^{**}$ es estrictamente mayor que $V$. Por otro lado, existe un natural de inyección $\iota:V\to V^{**}$, por lo que mediante la identificación de $v$$\iota(v)$, obtenemos $V\subsetneq V^{**}$.

De curso $V^{**}$ es un infinito dimensional espacio vectorial, por lo que tomar su doble-doble da de nuevo un mayor espacio vectorial. Así que si definimos $$V_0=V, V_{n+1}=V_n^{**}$$ y hacer la identificación como en el anterior, obtenemos una secuencia infinita de espacios vectoriales $$V_0\subsetneq V_1\subsetneq V_2\subsetneq\dots$$ Ahora podemos definir el límite de espacio $$V_\infty = \bigcup_{n=0}^\infty V_n$$ No es difícil comprobar que este es también un espacio vectorial: Para cada conjunto finito de vectores en $V_\infty$ encontrar una $V_n$ que contiene a todos ellos, y por lo tanto también su combinación lineal, que por lo tanto, también lo es en $V_\infty$.

Ahora, obviamente, también para el dual espacios tenemos que $V_{n+1}^*$ es el doble doble de la de $V_n^*$, por lo que también podemos definir el límite de espacio de los duales: $$W_\infty = \bigcup_{n=0}^\infty V_n^*$$

Ahora mi pregunta es: Es $W_\infty=V_\infty^*$?

Parece intuitivo que debería ser, pero, por otro lado, cada una de las $V_n$ (a excepción de $V_0$) es también el doble de $V_{n-1}^*$, y por lo tanto la misma intuición que da ese $V_\infty=W_\infty^*$. Pero los dos juntos no pueden mantener, ya que de lo contrario el doble-doble de $V_\infty$ sería de nuevo $V_\infty$, que puede ser desde $V_\infty$ es de dimensiones infinitas. Por lo que claramente la intuición no ayuda aquí. De hecho, ese argumento parece indicar que ambos no son los mismos; sin embargo no puedo ver cómo hacer que riguroso.

Ahora claramente $W_\infty\subseteq V_\infty^*$, por lo que asumiendo que no son iguales, es posible explícitamente la construcción de un elemento de $V_\infty^*\setminus W_\infty$?

Answer 1

Creo que esta es una posible respuesta a su pregunta. Por favor, compruebe.

Primero de todo, ya que queremos $V_i^*\subset V_{k}^*$, $i\leq k$, debemos entender cómo evaluar $f\in V_i^*$ sobre los elementos de la $V_k$.

Deje $k=i+1$. Desde $V_{i+1}=(V_i^*)^*$$f(x):=x(f)$, para cada $x\in V_{i+1}$. Supongamos que entendemos cómo evaluar $f\in V_i^*$ sobre los elementos de la $V_k$ $($por lo tanto podemos suponer que la $f\in V_k^*)$ $f(x):=x(f)$ por cada $x\in V_{k+1}$.

Observación 1: por Lo tanto, si $f\in V_i^*$, $x\in V_k$ y $k>i$ $f(x)=x(f)$. $($Estoy aquí?$)$

Suponiendo que esto es correcto, vamos a poner dos secuencias de $(x_{2n+2})_{n\in\mathbb{N}}$$(y_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ .

Desde $V_{2n+1}^*\setminus V_{2n}^*\neq \emptyset$ existe $x_{2n+2}\in (V_{2n+1}^*)^*=V_{2n+2}$ tal que

1. $x_{2n+2}|_{V_{2n}^*}\equiv 0$ y
2. para algunos $y_{2n+1}\in V_{2n+1}^*\setminus V_{2n}^*$ tenemos $x_{2n+2}(y_{2n+1})=1$.

Vamos a demostrar que $(x_{2n+2})_{n\in\mathbb{N}}$ es lineal independiente.

Suponga $g=\sum_{i=1}^ta_ix_{2n_i+2}=0$$n_1<n_2<\ldots<n_t$.

Ahora, $0=g(y_{2n_1+1})=\sum_{i=1}^ta_ix_{2n_i+2}(y_{2n_1+1})$.

Si $n_i>n_1$$y_{2n_1+1}\in V_{2n_1+1}^*\subset V_{2n_i}^*$$x_{2n_i+2}(y_{2n_1+1})=0$, por la construcción.

Observe que $x_{2n_1+2}(y_{2n_1+1})=1$, por la construcción. Por lo tanto, $a_1=0$. De forma análoga, obtenemos $a_2=\ldots=a_t=0$. Por lo tanto, $(x_{2n+2})_{n\in\mathbb{N}}$ es lineal independiente.

Ahora, vamos a $f\in W_\infty$, lo $f\in V_{2n}^*$ algunos $n$.

Por lo tanto, si $k\geq n$$x_{2k+2}\in V_{2k+2}$$2k+2>2n$. Por lo tanto, por la observación 1, $f(x_{2k+2})=x_{2k+2}(f)$.

A continuación, por la construcción, $x_{2k+2}(f)=0$, ya que el $V_{2n}^*\subset V_{2k}^*$. Por lo tanto, si $k\geq n$$f(x_{2k+2})=0$.

Observación 2:por Lo tanto, para cada $f\in W_\infty$, $n$ tal que para $k\geq n$, $f(x_{2k+2})=0$.

Ahora desde $(x_{2n+2})_{n\in\mathbb{N}}$ es lineal independiente, podemos extender este conjunto a una base de $V_{\infty}$. Deje $g\in V_{\infty}^*$ ser tal que $g(x_{2n+2})=1$ por cada $n$. Por lo tanto, $g\in V_{\infty}^*\setminus W_{\infty}$, mediante la observación 2.