¿Propiedades del exponente complejo?

Question

Aquí hay una línea en una prueba en un texto de análisis complejo:

$\sqrt{1-z^2}=\sqrt{1-z}\sqrt{1+z}$

Sé que no se puede hacer esto en general, pero ¿cuándo se puede hacer? Esto es lo que he intentado:

$\sqrt{1-z^2}=e^{1/2\log(1-z^2)}=e^{1/2\log((1-z)(1+z))}$

que, en este punto, me gustaría decir es: $e^{1/2(\log(1-z)+\log(1+z))}$ ? Pero tampoco creo que esto se pueda hacer necesariamente.

Y por eso mi pregunta de cuándo está bien parece que va a depender de qué rama/argumento le dé a log.

Si elijo la rama del registro para que sea $(-\infty,0]$ entonces $\sqrt{1-z^2}$ sólo tiene problemas en $[1,\infty)$ y $(-\infty,-1]$ . Entonces, si estuviera en un dominio que evitara estos intervalos, digamos el disco de la unidad abierta... ¿podría hacer lo que quiero con escupir la raíz cuadrada? Mi razonamiento es el siguiente: Si $arg(z) \in (0,\pi)$ entonces $arg(-z) \in (-\pi,0)$ y por lo tanto $arg(1+z) \in (0,\pi)$ y $arg(1-z) \in (-\pi,0)$ . Por lo tanto, la suma de los dos argumentos por separado está en $(-\pi,\pi)$ . Desde $arg(1-z^2) \in (-\pi,\pi)$ este valor debe ser igual a la suma de los dos individualmente. (Como es bien sabido la identidad funciona mod $2\pi$ ).

Answer 1

Esta es una buena pregunta porque plantea una cuestión en la que es fácil meterse en problemas. (A modo de ejemplo, hace poco ayudé a mi mujer con una tarea de álgebra que le tocó como estudiante universitaria de nuevo ingreso. A pesar de haber sido un físico investigador teórico durante los últimos 12 años, me llevó varios minutos deducir y explicar por qué hacer el mismo problema dos veces usando dos órdenes de operación diferentes pero, lo que originalmente pensé que era equivalente, estaba dando dos resultados diferentes. Resultó ser la naturaleza de dos valores de la raíz cuadrada a la que se refiere tu pregunta, que puede ser difícil de ver a veces en casos que implican números complejos).

En primer lugar, y no pretendo sonar condescendiente en absoluto cuando digo esto, creo que replantear el problema en forma logarítmica es innecesario y oscurece la verdadera cuestión aquí, que ahora intentaré aclarar. Está claro que la identidad $(1-z^2) \equiv (1-z)(1+z)$ es cierto para todos los $z$ El problema surge al sacar la raíz cuadrada. Para ser precisos, el problema es que el símbolo $\sqrt{\;\;}$ pretende representar el $principle$ raíz cuadrada, mientras que sabemos que todo número complejo tiene en realidad dos segundas raíces en el sentido más general de los números que se elevan al cuadrado, y es el lanzamiento de estas posibilidades adicionales lo que hace que su identidad falle en ciertas circunstancias. Como las dos segundas raíces de cualquier número c sólo difieren por un signo general, el problema puede corregirse añadiendo el $\pm$ a la derecha. Es decir, $\sqrt{(1-z^2)} \equiv \pm\sqrt{(1-z)}\sqrt{(1+z)}$ siempre es cierto para $either$ el $+$ o el $-$ signo. Por ejemplo, $1=(-1)^2$ claramente no implica que $\sqrt{1}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i\cdot i=-1$ pero añadiendo un $-$ corrige el problema. Dicho de otro modo, la identidad original falla exactamente por la misma razón que $x^2 = 4$ no implica que $x=\sqrt{4}=2$ . La otra posibilidad, que $x=-2$ debe permitirse.

Ahora que se ha identificado bien el origen de la dificultad, podemos pasar a intentar responder con un poco más de detalle cuando la identidad original es verdadera como se ha dado $without$ la necesidad de añadir un signo negativo adicional. La raíz cuadrada principal representada por $\sqrt{\; \;}$ se define para tener una rama cortada a lo largo del eje real negativo. Por lo tanto, la identidad funciona, para uno, siempre que los tres $(1-z^2)$ , $(1-z)$ y $(1+z)$ tienen partes imaginarias con el mismo signo. Como $(1+z)$ y $(1-z)$ tienen partes imaginarias opuestas, esta posibilidad sólo se realiza cuando $z$ es real. La otra posibilidad es que dos de sus partes reales tengan el mismo signo y la otra sea opuesta. No me voy a molestar en averiguar por ti qué valores de $z$ eso es cierto para (perogativa del contestador ;)), pero no debería ser muy difícil deducirlo uno mismo yendo caso por caso.

Por cierto, también valdría la pena comprobar si la prueba que sigues se rompe cuando se añade un signo menos adicional, o si tal vez no importa. Espero que esto te ayude. :)