¿Por qué es esta constante de integración como $\log A$ en vez de a $C$?

Question

Supongamos que resolver $$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y}{2 + x} .$$ Que se puede escribir como la siguiente y la integración de ambos lados w.r.t. $y$ y $x$: $$\int\frac{1}{1 + y}dy = \int\frac{1}{2 +x}dx ,$$ llegamos $$\ln(1+y) = \ln(2+x) + C$$ Uno de los que dice el libro:

Es conveniente escribir la constante de $C$ como el logaritmo de alguna otra constante $A$: $$ \ln(1+y) = \ln(2+x) + \ln(A) \implies \ln A(2 + x)$$ $$ \therefore (1 + y) = A(2 + x)$$

Pregunta: ¿por Qué es "conveniente escribir la constante de $C$ como el logaritmo de alguna otra constante $A$"? Qué libertad tenemos para escribir $\ln(A)$, en lugar de sólo $C$? Creo que no tengo conocimiento de lo que es un logaritmo de una constante es. Me refiero al significado de la misma.

Answer 1

Es conveniente, ya que permite escribir ambos lados de una ecuación como un logaritmo, y, a continuación, utilice el hecho de que $\ln(a)=\ln(b)$ implica $a=b$.

Usted tiene la libertad para hacerlo debido a $\ln$ es un surjective función, lo que significa que cada número real tiene la forma $\ln(A)$ algunos $A>0$.

Sin embargo, también es necesario hacerlo, así que no te preocupes si este estilo de argumento parece poco natural en la actualidad. De $\ln(1+y)=\ln(2+x)+C$, puede exponentiate para obtener $1+y=e^C(2+x)$, y luego de reconocer que el $e^C$ es también un arbitrario (pero positivo) constante, y puede así llamarlo $A$.

Una nota lateral: $\ln(1+y)=\ln(2+x)+C$ no es una conclusión válida, a menos que usted está asumiendo que $y>-1$$x>-2$.

Answer 2

Como dije en mi respuesta a tu última pregunta, ¿qué necesitamos a la hora de resolver una ecuación diferencial (un simple ejemplo de lo que es tomar una integral definida) es una constante de integración que puede tomar cualquier valor real. Por esta razón, no podemos escribir $A^2$ como constante de integración, porque nunca podemos obtener un valor negativo para $A^2$ mediante la conexión de un valor real para $A$. Sin embargo, podemos escribir $\ln(A)$ para nuestros constante debido a que para cualquier número real $r$ conseguimos nuestro constante de integración igual a $r$ cuando se conecte $e^r$$A$.

En cuanto a por qué el uso de $\ln(A)$ como la constante de integración es más conveniente que el uso de $C$, de modo que usted puede escribir $(1+y)=A(2+x)$ en lugar de $(1+y)=e^C(2+x)$, y que la persona que escribió su libro de texto decidió que la primera fue una mejor expresión.