¿Qué es una prueba de que los ángulos de un triángulo suman 180°?

Question

De vuelta en la escuela primaria, tenía una solución que implique "doblar el triángulo en un rectángulo de la mitad de la zona, y al ver que todos los ángulos se reunieron en un punto.

Sin embargo, ahora que estoy en la universidad, no estoy convencido de que esta prueba es la mejor (aunque sigue siendo mi favorito no rigurosa demostración). Hay una prueba, por ejemplo, en álgebra lineal, que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados? O cualquier otro Euclidiana pruebas de que no soy consciente?

Answer 1

Aquí un decente Euclidiana prueba:

Deje $x$ ser la línea paralela a lado de la $AB$ $\triangle ABC$ que pasa a través del punto de $C$ (la línea es único, porque el quinto postulado). $AC$ recortes $x$ $AB$ en el mismo ángulo, $\angle BAC$ (corolario de que el quinto postulado). $BC$ recortes $x$ $AB$ en el mismo ángulo, $\angle ABC$. Estos dos ángulos y el ángulo final $\angle ACB$ forma un ángulo recto en $x$, lo cual siempre es $180^\circ$ (corolario de que el tercer postulado).

Answer 2

De acuerdo con el de Gauss-Bonnet teorema, si $T$ es su triángulo, $\gamma_i$ sus lados y $v_i$ sus vértices, $$\int_T K+\sum_i\int_{\gamma_i}\kappa + \sum_i\alpha_i=2\pi\chi(T)$$ with $K$ the Gaussian curvature, $\kappa$ the geodesic curvature along the sides, $\alpha_i$ the external angle at the vertex $v_i$ (measured in radians), and $\chi(T)$ the Euler characteristic of $T$. Since the plane is flat, $K\equiv 0$; since the sides of the triangle are geodesics, $\kappa\equiv0$; and since $T$ is contractible, $\chi(T)=1$. Therefore the above formula tells us that $$\sum_i\alpha_i=2\pi.$$ Since the internal angle at the $i$th vertex is $\pi\alpha_i$, this tells us that the sum of the internal angles is $\pi$, que es lo que queríamos

Answer 3

Siempre existe el "taxi" de la prueba. Empezar en un vértice y tomar un taxi viaje alrededor del triángulo. La cabina se han convertido a través de un ángulo de $360^{\text{o}}$ Ampliar los lados del triángulo de manera adecuada y obtendrá tres $180^{\text{o}}$ ángulo con el vértice ángulos suplementarios para las curvas tomadas por el cab. A continuación, tenga en cuenta que $540-360=180$ ...

Sé que esta no es una respuesta directa, pero es mi favorito de demostración.

Answer 4

En esta demostración, se adopta el punto de vista de que la geometría Euclidiana es el estudio del grupo afín en el plano generado por los reflejos en $\mathbb{R}^2$). Este grupo incluye todas las traslaciones y rotaciones. Se conservan las distancias y los ángulos. La función de este grupo, y en particular de la manera en paralelo traducción de vectores interactúa con la rotación, es importante en el argumento.

La traducción de triángulo $ABC$ por el vector $AB$ produce triángulo $A'B'C'$ (que establece que el ángulo de $ABB'$ es recto) y la rotación $ABC$ alrededor del punto medio de la $M$ $BC$ produce triángulo $A_1'B_1'C_1'$. Observe que $C=B_1'$ porque $M$ es el punto medio de la $BC$, y también por la construcción, $C_1' = A' = B$.

Todo depende de a $A_1'$ coincidiendo con $C'$, como se sugiere en esta figura. Aunque esto es visualmente "obvio" que hay algo que se muestra, debido a que $A_1'$ es el resultado de la rotación $ABC$ mientras $C'$ es el resultado de la traducción de $ABC$. Entre las muchas formas de hacer esta demostración, entonces, aquí hay uno que es geométrica en el espíritu.

La imagen de vector de $AB$ bajo ($180^\circ$) rotación alrededor de $M$ es el vector de la $A_1'B_1'$. Debido a $180^\circ$ rotaciones negar vectores, $A_1'$ debe ser el traducir de $B_1'$$AB$. Puesto que (por construcción) $C'$ es la de traducir $C = B_1'$, $C'$ y $A_1'$ son coincidentes.

Esto muestra que el ángulo recto. $ABB'$ se descompone en que no se solapan los ángulos $\beta$, $\gamma'$, y $\alpha'$. Porque traslaciones y rotaciones preservar los ángulos, la medida del ángulo $\alpha$ es igual a la medida de $\alpha'$ (su imagen en la traducción) y la medida del ángulo $\gamma$ es igual a la medida de $\gamma'$ (su imagen, en virtud de la rotación), donde la suma de las medidas de $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ es la medida de un ángulo recto, $180^\circ$.

Answer 5

Usted siempre tiene el "original" de la prueba se encuentra en Elementa. Me gusta este. Es directo y fácil de seguir, haciendo solo uso de la suma de los ángulos y las propiedades de paralelo líneas. Lo hace parecerse a los de su prueba, sino que sustituye a "doblar" del triángulo por la construcción de una línea paralelo a uno de los lados.