números p-adic y caracteres de grupo

Question

El artículo de wiki en p-ádico números tiene este maravilloso y encantador y bastante gráfico:

Esto se supone para representar "el 3-ádico enteros, con una selección de los caracteres correspondientes en su Pontryagin dual grupo."

Y esa es la única explicación. He mirado, pero han sido incapaces de encontrar algo más detallada. Así que, me estoy volviendo a MathStack: ¿alguien puede romper este hermoso caleidoscopio?

Edit: el artículo sobre La dualidad de Pontryagin tiene una imagen similar para el 2-ádico enteros.

(también seguro de la mejor manera a la etiqueta de esto...)

Answer 1

Un personaje es un grupo continuo homomorphism $(G,+)\to\Bbb T$ ($\Bbb T\subset\Bbb C^\times$ el círculo de grupo).

El doble de grupo $\widehat{G}$ es el espacio de todos los personajes de $G$ equipada con pointwise la multiplicación.

Deje $\psi$ ser un personaje de $\Bbb Z_p$. Desde $\Bbb Z\subset\Bbb Z_p$ es densa, los valores de $\psi(\Bbb Z)$ determinar $\psi$, y como $\Bbb Z=\langle 1\rangle$ esto significa que es $\psi$ está determinado por $\psi(1)$. Desde $p^r\to0$$\Bbb Z_p$, los valores de $\psi(p^r)=\psi(1)^{p^r}$ debe converger a $\psi(0)=1$. Si $\psi(1)$'s de fase compleja, no eran de $2\pi\Bbb Q$, $\psi(1)^{p^r}$'s de la fase nunca establecerse - por otra parte debe ser $p$-torsión mod $2\pi$ a establecerse, por lo $\psi(1)$ algunos $p$-el poder de la raíz de la unidad. Por lo tanto $\widehat{\Bbb Z_p}\cong\Bbb Z(p^\infty)$ través $\psi\leftrightarrow\psi(1)$ ($\Bbb Z(p^\infty)$ el Prüfer $p$-grupo).

(KCd tiene un buen relacionados con la propaganda que en el grupo de personajes de $\Bbb Q$, lo que motiva la adeles.)

Nota esto es análogo a $\Bbb Z$ $\Bbb R/\Bbb Z$ ser un doble par, en vista del hecho de $\,\Bbb Z(p^\infty)\cong\Bbb Q_p/\Bbb Z_p$.

El grupo $\Bbb Z(p^\infty)$ puede ser considerado como $\Bbb Z[p^{-1}]/\Bbb Z$ menores de adición, de modo que cada elemento de la Prüfer grupo puede ser representado por los racionales se pueden expresar finitely como $0.\square\square\square\cdots\square$ base $p$.

La topología de $\Bbb Z_p$ es de un (countably profundidad infinita $p$-ary arraigada) "árbol": dibujar un punto, a continuación, dibuje $p$ nodos secundarios a partir de ese punto, a continuación, $p$ nodos secundarios a partir de ese punto, y así sucesivamente. El $p$-ádico enteros serán todas las "hojas" (infinitos caminos a través del árbol desde la raíz). La métrica de bolas se obtienen mediante la selección de un nodo en el árbol y recoger todas las hojas que se ejecutan a través de ese nodo.

(Más sobre esto en la nota de imágenes de ultrametric espacios.)

Una forma equivalente de representar la topología de la $p$-adics se utiliza aquí. Dibujar una gran bola, a continuación, dibuje $p$ bolas en el interior, a continuación, dibuje $p$ bolas en el interior de cada uno de aquellos, y así indefinidamente. Para seleccionar un número entero de $\Bbb Z_p$, hacer una secuencia infinita de selecciones de estas bolas, una elección que representa cada dígito de $\Bbb Z_p\ni x$'s $p$-ádico de expansión. En la imagen, el gris nido de bolas representa el $\Bbb Z_3$.

Un número de tres-ádico enteros son elegidos entre el gris de la urna, y corresponden a los círculos de colores envueltas alrededor de la parte exterior. Cada uno de estos exterior círculos de colores representa la Prüfer $3$-grupo, en particular de cada "hoja" es un elemento. La más grande de las hojas se $0/3,1/3,2/3$ y la segunda más grande de las hojas se $1/9,2/9,4/9,5/9,7/9,8/9$ (así que, básicamente, los racionales $k/9$ $0\le k<9$ sin contar los ya mencionados, $0/3,1/3,2/3$). El $r$la más grande de las hojas corresponden a la de los racionales se pueden expresar como $0.\square\cdots\square$ $r$ dígitos en base $p$, no aparece en la lista (es decir, con la última plaza distinto de cero).

La idea de la "dualidad" es que no sólo los elementos de $\Bbb Z(p^\infty)$ actuar como los personajes en $\Bbb Z_p$, pero por el contrario los elementos de $\Bbb Z_p$ actuar como los personajes en $\Bbb Z(p^\infty)$. Para cada una de las $p$-ádico entero $x\in\Bbb Z_p$, los colores de las hojas $a\in\Bbb Z(p^\infty)$ (sobre el correspondiente círculo exterior) se corresponden con el valor de $x$ que se aplica a $a$ a un personaje, que siempre terminan siendo una $p$-el poder de la raíz de la unidad (como se ve arriba).

Answer 2

La descripción de la imagen de la página tiene mucho más detalle:

El grupo compacto de 3-ádico enteros (puntos negros), con los elementos seleccionados marcadas por el carácter correspondiente en las Pontryagin dual grupo (el discreto Prüfer 3-grupo) (color de discos).

En contra de las manecillas del derecho, de la etiqueta de los elementos son 0, 9, 3, 1, -1/8, -1/2, 1/4, -1/4, 1/2, 1/8, -1, -3, y -9. Abra el archivo SVG directamente en su navegador para obtener descripciones de los elementos del grupo.

Cada color del disco está atado a un 3-ádico entero, $x\in\mathbb{Z}_3$, y representa el carácter correspondiente en las Prüfer 3-grupo, $\chi_x : \mathbb{Z}(3^\infty) \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, definido por $\chi_x(q) = x q$. El círculo de grupo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ utilizado es una rueda de color donde $0 =$ rojo, $1/3 =$ verde y $2/3 =$ azul.

Para más detalles sobre la incorporación de la 3-ádico enteros, ver Chistyakov, D. V. (1996), "la geometría Fractal de imágenes de continuo incrustaciones de $p$-ádico números y solenoides en Euclidiana espacios", Teóricos y Matemáticos de la Física 109 (3): 1495-1507. . La asignación determinada utilizado es $\Upsilon_s^{(\infty)}$, definido en la Definición 3 y se muestra en la Figura 1.12.

¿Eso ayuda? Me puedan responder a cualquier otra pregunta si esa descripción no los cubren.