Un personaje es un grupo continuo homomorphism $(G,+)\to\Bbb T$ ($\Bbb T\subset\Bbb C^\times$ el círculo de grupo).
El doble de grupo $\widehat{G}$ es el espacio de todos los personajes de $G$ equipada con pointwise la multiplicación.
Deje $\psi$ ser un personaje de $\Bbb Z_p$. Desde $\Bbb Z\subset\Bbb Z_p$ es densa, los valores de $\psi(\Bbb Z)$ determinar $\psi$, y como $\Bbb Z=\langle 1\rangle$ esto significa que es $\psi$ está determinado por $\psi(1)$. Desde $p^r\to0$$\Bbb Z_p$, los valores de $\psi(p^r)=\psi(1)^{p^r}$ debe converger a $\psi(0)=1$. Si $\psi(1)$'s de fase compleja, no eran de $2\pi\Bbb Q$, $\psi(1)^{p^r}$'s de la fase nunca establecerse - por otra parte debe ser $p$-torsión mod $2\pi$ a establecerse, por lo $\psi(1)$ algunos $p$-el poder de la raíz de la unidad. Por lo tanto $\widehat{\Bbb Z_p}\cong\Bbb Z(p^\infty)$ través $\psi\leftrightarrow\psi(1)$ ($\Bbb Z(p^\infty)$ el Prüfer $p$-grupo).
(KCd tiene un buen relacionados con la propaganda que en el grupo de personajes de $\Bbb Q$, lo que motiva la adeles.)
Nota esto es análogo a $\Bbb Z$ $\Bbb R/\Bbb Z$ ser un doble par, en vista del hecho de $\,\Bbb Z(p^\infty)\cong\Bbb Q_p/\Bbb Z_p$.
El grupo $\Bbb Z(p^\infty)$ puede ser considerado como $\Bbb Z[p^{-1}]/\Bbb Z$ menores de adición, de modo que cada elemento de la Prüfer grupo puede ser representado por los racionales se pueden expresar finitely como $0.\square\square\square\cdots\square$ base $p$.
La topología de $\Bbb Z_p$ es de un (countably profundidad infinita $p$-ary arraigada) "árbol": dibujar un punto, a continuación, dibuje $p$ nodos secundarios a partir de ese punto, a continuación, $p$ nodos secundarios a partir de ese punto, y así sucesivamente. El $p$-ádico enteros serán todas las "hojas" (infinitos caminos a través del árbol desde la raíz). La métrica de bolas se obtienen mediante la selección de un nodo en el árbol y recoger todas las hojas que se ejecutan a través de ese nodo.
(Más sobre esto en la nota de imágenes de ultrametric espacios.)
Una forma equivalente de representar la topología de la $p$-adics se utiliza aquí. Dibujar una gran bola, a continuación, dibuje $p$ bolas en el interior, a continuación, dibuje $p$ bolas en el interior de cada uno de aquellos, y así indefinidamente. Para seleccionar un número entero de $\Bbb Z_p$, hacer una secuencia infinita de selecciones de estas bolas, una elección que representa cada dígito de $\Bbb Z_p\ni x$'s $p$-ádico de expansión. En la imagen, el gris nido de bolas representa el $\Bbb Z_3$.
Un número de tres-ádico enteros son elegidos entre el gris de la urna, y corresponden a los círculos de colores envueltas alrededor de la parte exterior. Cada uno de estos exterior círculos de colores representa la Prüfer $3$-grupo, en particular de cada "hoja" es un elemento. La más grande de las hojas se $0/3,1/3,2/3$ y la segunda más grande de las hojas se $1/9,2/9,4/9,5/9,7/9,8/9$ (así que, básicamente, los racionales $k/9$ $0\le k<9$ sin contar los ya mencionados, $0/3,1/3,2/3$). El $r$la más grande de las hojas corresponden a la de los racionales se pueden expresar como $0.\square\cdots\square$ $r$ dígitos en base $p$, no aparece en la lista (es decir, con la última plaza distinto de cero).
La idea de la "dualidad" es que no sólo los elementos de $\Bbb Z(p^\infty)$ actuar como los personajes en $\Bbb Z_p$, pero por el contrario los elementos de $\Bbb Z_p$ actuar como los personajes en $\Bbb Z(p^\infty)$. Para cada una de las $p$-ádico entero $x\in\Bbb Z_p$, los colores de las hojas $a\in\Bbb Z(p^\infty)$ (sobre el correspondiente círculo exterior) se corresponden con el valor de $x$ que se aplica a $a$ a un personaje, que siempre terminan siendo una $p$-el poder de la raíz de la unidad (como se ve arriba).
