Estoy tratando de encontrar el polinomio mínimo para la algebraicas número $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Mi idea original era simplemente deje $\alpha=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$. El método que yo uso, aunque parece muy complicado. Por ejemplo, $$\alpha^2=(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2+\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{3}+3$$ $$\alpha^2=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+4+2\sqrt{2}\sqrt{3}$$ $$\alpha^2=4+2\alpha+2\sqrt{2}\sqrt{3}$$ Si puedo sustituir por $\sqrt{2}=\alpha-1-\sqrt{3}$$\sqrt{3}=\alpha-1-\sqrt{2}$, todavía voy a terminar con $\sqrt{2}$$\sqrt{3}$. Así que pensé en la plaza de nuevo. Mover el 4 de más hace que el cálculo fácil, ya que los binomios son más fáciles de trinomios.... $$(\alpha^2-4)^2=(2\alpha+2\sqrt{2}\sqrt{3})^2$$ $$\alpha^4-8\alpha^2+16=4\alpha^2 +8\alpha\sqrt{2}\sqrt{3}+24$$ $$\alpha^4-12a^2-8=4\alpha(2\sqrt{2}\sqrt{3})$$ Desde el cálculo anterior veo que $2\sqrt{2}\sqrt{3}=\alpha^2-2\alpha-4$ $$\alpha^4-12a^2-8=4\alpha(\alpha^2-2\alpha-4)$$ $$\alpha^4-4\alpha^3-4\alpha^2+16\alpha-8=0$$ Pero mi pregunta es, ¿cómo SÉ que este es el polinomio mínimo? Sí, es cierto, desde que me la construyeron de modo que si se $f(x)=x^4-4x^3-4x^2+16x-8$, $f(\alpha)=0$ Hacer yo simplemente intento factor a cabo una $(x-\alpha)$. En ese caso, $f(x)=(x-\alpha)g(x)$. A continuación, muestro que $g(\alpha)\neq 0$?
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Considere el polinomio $$(y-\sqrt{2}-\sqrt{3})(y-\sqrt{2}+\sqrt{3})(y+\sqrt{2}-\sqrt{3})(y+\sqrt{2}+\sqrt{3}).$$ Los dos primeros términos de producto $y^2-2\sqrt{2}y-1$, y los dos han de producto $y^2+2\sqrt{2}y-1$. Se multiplican. Llegamos $y^4-10y^2+1$. Ahora podemos ver que $\alpha$ es un cero del polinomio $(x-1)^4-10(x-1)^2+1$.
Para mostrar esto es mínimo, algunos de álgebra es útil. Uno puede mostrar que el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ tiene el grado $2$ sobre los racionales, ya que $\sqrt{2}$ es irracional. Y $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ tiene el grado $2$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, ya que el $\sqrt{3}$ no puede ser expresado como $s+t\sqrt{2}$ $s$ $t$ racional. Por lo tanto $\mathbb{Q}(\alpha)$ tiene el grado $4$ sobre los racionales, por lo que el mínimo polinomio tiene grado $4$.
$~P,Q,R,S,T\in\mathbb Q^\star,~$ Irreducible, con $~R\neq T~$ ambos squarefree, tenemos
$$\begin{align}a~=~P~+~Q\sqrt R~+~S\sqrt T\quad&=>\quad(a-P)^2~=~\ldots~=~K+M\sqrt N~\not\in~\mathbb Q\\\\&=>\quad\Big[(a-P)^2-K\Big]^2=~M~^2\cdot N~\in~\mathbb Q\end{align}$$
donde $~K=Q~^2R+S^2T,~$ $~M=2~Q~S,~$ y $~N=R~T$.
