Grupos en sí mismos

Question

Estoy trabajando en Éx. 4.2.11 en Dummit y de Foote libro de álgebra abstracta. La pregunta lee:

Que $G$ ser un grupo finito y que $\pi : G\rightarrow S_{G}$ la izquierda representación regular. Demostrar que si $x$ es un elemento de orden $G$ $n$ y | $G$ | = $mn$, $\pi (x)$ es un producto de $m$ % #%-ciclos de #%. Deducir que $n$ es una permutación impar si y sólo si | $\pi (x)$ | está incluso y $x$ es impar.

Answer 1

Por definición, $\pi(x): G \rightarrow G$ mapas de $g \mapsto xg$. Puesto que el orden de $x$$n$, para cada $g \in G$, componiendo $\pi(x)$ $n$ veces, tenemos $\pi(x) \circ \cdots \circ \pi(x) = x^n g = g$, y este es el menor número de veces que podemos componer $\pi(x)$ para obtener el mapa de identidad. Por lo que el tamaño de la órbita de cada una de las $g$, es decir, el tamaño de cada una de distinto ciclo debe ser $n$, y desde $|G| = mn$, no debe ser $m$ de esos ciclos.

Cada una de las $n$-ciclo puede ser escrito como el producto de $n-1$ transposiciones. Ahora $\pi(x)$ es una permutación impar iff $m(n-1)$ es impar iff $n = |x|$ es incluso y $m = |G|/|x|$ es impar.