¿"Cerrar" los operadores tienen espectros de "cerrar"?

Question

Vamos a dejar que $A$ $B$ estar acotada a los operadores en un espacio de Hilbert, y deje $\sigma$ ser el espectro:

$ \sigma(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda I - \text{ no es invertible}\} $

Me gustaría saber si $\lVert A - B \rVert < \epsilon$ implica que el $\sigma(A)$ $\sigma(B)$ "cerrar". Estoy más interesado en saber si $\sigma(B) \subset \sigma(A) + B_\epsilon(0)$, pero si esto es falso, tal vez el derecho de la declaración es $\sigma(B) \subset \sigma(A) + B_{f(\epsilon)}(0)$ algunos $f = o(1)$, $f$ tal vez, dependiendo de $A$ si lo mantenemos fijos y varían $B$.

Si esto no está claro, el tipo de contraejemplo estaría buscando es: un operador $A$ tal de que no se $B \to 0$ $\sigma(A + B)$ a menos de una distancia fija (en la métrica de Hausdorff) de $\sigma(A)$.

Edit: la demanda original (con dependencia lineal en $\epsilon$) es falsa; ver este post en el blog de Terry Tao. Básicamente, la que construye las matrices de $A$ $B$ tal que $\lVert B \rVert < \epsilon$, el espectro de $A$ es todos los ceros, pero los autovalores de a $A + B$ $n$th raíces de $\epsilon$ (donde $n$ es la dimensionalidad). Sin embargo, la segunda opción me aparece es verdadero en dimensiones finitas, al menos si $f$ es permitido a depender de $A$, ya que los autovalores son continuas en la matriz de entradas.

Answer 1

Para los operadores generales, esta afirmación es falsa, como Terry Tao muestra el ejemplo de la.

Pero si uno, sin embargo restringe a sí mismo a determinadas categorías de operadores, por ejemplo selfadjoint operadores en espacios de Hilbert, entonces no han hecho de toda la matriz de la teoría de la perturbación de los espectros de los operadores.

Por ejemplo, como se señala en este documento, si tenemos un almacén de selfadjoint operador $H$ ( $A$ ) y considerar la posibilidad de que el operador $T = H +A$ ( $B$ ) para algunos auto-adjunto de perturbación $A$ (en sus términos, esto es $B-A$), luego

$$\sigma(T) \subset \{\lambda: \operatorname{dist}(\lambda,\sigma(H))\leq \|A\|\},$$

lo que se traduce (en OPs notation) a $\sigma(B)\subset \sigma(A)+\overline{B}_{\|B-A\|}(0)$.

El citado documento no da una referencia (sólo estados-resultado conocido), pero estoy seguro de que este resultado puede ser de alguna manera se encuentra en Kato, el libro de teoría de la perturbación

Una investigación reciente que se está haciendo en las perturbaciones de la no-Hilbert-selfadjoint operadores, tales como selfadjoint operadores en espacios de Krein.

Answer 2

Trabajo en Tao ejemplo, creo que no hay ninguna relación.

Fix $\varepsilon>0$. Para cada una de las $n$, vamos $$ A_n=\begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 0&0&0&\cdots&0 \end{bmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ B_n=\begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ \varepsilon&0&0&\cdots&0 \end{bmatrix}. $$ Entonces $\sigma(A)=\{0\}$, $\sigma(B)=\{w:\ w^n=\varepsilon\}$, y $\|A_n-B_n\|=\varepsilon\|E_{n1}\|=\varepsilon$.

Ahora, la construcción, actuando sobre el espacio de Hilbert $H=\bigoplus_{n=1}^\infty\mathbb C^n$, los operadores de $$ A=\bigoplus_{n=1}^\infty A_n, \ \ \ \ \ B=\bigoplus_{n=1}^\infty B_n. $$ A continuación, $$\|A-B\|=\sup_n\|A_n-B_n\|=\varepsilon,$ $ $$\sigma(A)=\overline{\bigcup_n\sigma(A_n)}=\{0\},$$ y $$\sigma(B)=\overline{\bigcup_n\sigma(B_n)}=\overline{\bigcup_n\{w:\ w^n=\varepsilon\}}.$$ En particular, $\varepsilon^{1/n}\in\sigma(B)$ todos los $n$, lo que implica que $1\in \sigma(B)$. Así, en la métrica de Hausdorff, $$\text{dist}\,(\sigma(A),\sigma(B))=1.$$

Answer 3

Si $A $ es normal, entonces es cierto que $\sigma (A+E) $ está contenida en un $\|E\|$- bola del espectro de $A $. En general, como las otras respuestas indican, no es agradable de perturbación de la propiedad de la no-normalidad de los operadores. Sin embargo, esta cuestión se estudia en muchas referencias sobre pseudospectra. Por ejemplo, aunque el operador de desplazamiento a la mala calidad de la perturbación de las propiedades (ver otras respuestas), la correspondiente pseudospectra tienen buenas propiedades de convergencia en virtud de la perturbación, finito dimensionales aproximaciones, etc, y se puede decir algo significativo sobre el operador original.