Transformación de fotones en la transformación de Lorentz

Question

Esta pregunta es una continuación de uno de mis anteriores post. En este post,me preguntó acerca de la transformación de los campos de fotones en virtud de la rotación. Aquí me generalizar la cuestión de la transformación de Lorentz, y el de motivar la razón detrás de la pregunta.

En virtud de Lorenz de la transformación, un fermión campo $\psi(x)$ se transforma a medida $$\psi^\prime(x^\prime)=\exp[-\frac{i}{4}\sigma_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu}]\psi(x).$$ From this we can read off the Lorentz generators (both rotation and boost generators) $$J_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)+\frac{1}{2}\sigma_{\mu\nu}$$ Using this we can compute $W_\mu W^\mu$ to show that $$W_\mu W^\mu=-m^2\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)$$ $W_\mu$ es la Pauli-Lubansky 4-vector.

¿Cómo funciona un fotón de campo (que es un campo de vectores) transformar en virtud de la transformación de Lorentz? En realidad quiero una expresión por encima de la transformación de la relación $$A_\mu^\prime(x^\prime)=(...)_\mu^\nu A_\nu$$ so that I can read off the generators and compute $W_\mu W^\mu$.

Existen otras maneras de calcular $W_\mu$ para partículas sin masa, pero creo que si la transformación de los fotones de campo que puede ser escrito, luego de trayecto $W_\mu W^\mu$ va a ser más esclarecedor. Alguien me puede ayudar con este tipo de expresión?

EDIT: Ya, $A_\mu$ es un campo de vectores, mi conjetura sería que se transforma como $x_\mu$, es decir,, $$A_\mu^\prime=\Lambda_\mu^\nu A_\nu. $$ If this be the case, the generators are same as those for $ x_\mu$. My suspiction is that even if the rotation generators for photons are $J_i$, they cannot satisfy SU(2) algebra because if it were then photons must have transformed like representation of SU(2). How does the masslessness of photon will make a change in the commutation relation between different $J_i$ diferente de SU(2) el álgebra?

Answer 1

El potencial electromagnético $A^\mu$ es un cuatro-vector, y por lo tanto se transforma en fundamental representación de $\mathrm{SO}(1,3)$, es decir, $A^\mu\mapsto \Lambda^\mu_\nu A^\nu$ donde $\Lambda$ es la costumbre 4x4 matriz asociada a una transformación de Lorentz.

Tu pregunta parece fundamentalmente confundido acerca de la diferencia entre el campo y la partícula. El campo se transforma a medida ordinaria de cuatro vectores. Una partícula no. Esto es porque usted tiene que distinguir entre dos tipos diferentes de grupo de representaciones aquí:

1. Cada uno (clásica) campo de $\phi: \mathbb{R}^4\to V$ tiene algún objetivo espacio de $V$ donde $V$ es finito-dimensional de la representación de los correspondientes grupos de simetría. En el caso de que el potencial electromagnético, $V$ fundamental es la representación de la "representación vectorial" - del grupo de Lorentz $\mathrm{SO}(1,3)$.

2. Sobre el espacio de Hilbert de los estados de la teoría cuántica, no hay otra, unitaria representación. La central unitaria de las representaciones del grupo de Poincaré son necesariamente infinito-dimensional (el grupo de Lorentz no tiene finito-dimensional unitario de representaciones), y la posible de dimensiones infinitas representaciones corresponden a partículas por Wigner de la clasificación.

El finito-dimensional representación $\rho_\text{fin}$ y la central unitaria de representación $\rho_\text{U}$ están relacionados por uno de los Wightman axiomas: $$ \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi = \rho_\text{U}(\Lambda)\phi\rho_\text{U}(\Lambda)^\dagger\tag{1}$$ donde en el l.h.s. el $\phi$ actúa como el clásico vector fue, y en el r.h.s. es actuó como operador de valores de campo en un infinito-dimensional espacio de Hilbert es en la teoría cuántica. Esta relación es esencialmente allí para asegurarse de que la transformación del campo como un operador en el espacio de estados de la teoría cuántica es consistente con su clásica de transformación de la conducta.

El masslessness de la photon no se reflejan en un cambio de las relaciones de conmutación de Lorentz álgebra (y no sé por qué piensa que debería ser). Lo que el masslessness hace es cambiar el pequeño grupo (véase la superficie de la transitividad , o por ejemplo, estas notas), que es el grupo en la que los cuatro-el impulso de una partícula es invariante. Para partículas macizas, el pequeño grupo es $\mathrm{SU}(2)$, pero para la masa, es la de dos dimensiones Euclidianas grupo $\mathrm{E}(2)$ (o $\mathrm{ISO}(2)$).

Pequeños grupos de clasificar los diferentes infinte dimensiones unitario de representaciones, y, de hecho, el lugar inusual pequeño grupo $\mathrm{E}(2)$ de los fotones conduce a la norma generadores de $\mathfrak{so}(1,3)$ actuar en lugar inusualmente sobre un fotón estado. En particular, desde la $\mathrm{SU}(2)$ no es el pequeño grupo, no se puede esperar que las rotaciones de actuar de la misma manera que para las partículas macizas.

Si usted está interesado en una derivación detallada de la estructura del grupo y sus permitió proyectiva representaciones, echa un vistazo a por ejemplo, la segunda mitad del capítulo 2 de La teoría cuántica de campos, Vol. Yo por Weinberg.

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Hay un problema sutil con la relación $(1)$ para la masa de los campos. Como puede ser demostrado (cf. de nuevo Weinberg), un campo de vectores construido a partir de la creación/aniquilación operadores para la masa de la partícula sólo puede obedecer a una versión modificada $$ \rho_\text{U}(\Lambda)\phi\rho_\text{U}(\Lambda)^\dagger = \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi + \mathrm{d}\Omega\tag{2}$$ para una función de espacio-tiempo $\Omega$. Por lo tanto, para hacer que la relación $(1)$ mantener en el espacio cuántico de los estados, debemos exigir que $A\mapsto A + \mathrm{d}\Omega$ es un indicador de la simetría de la teoría, la cual debe ser quotiented de los ingenuos espacio de estado a partir de que $(2)$ mantiene para obtener el espacio real de estados físicos. Tomando el cociente por la identificación de calibre relacionados con los estados (y operadores), $(2)$ hace $(1)$ sobre el espacio real de los estados (desde $A+\mathrm{d}\Omega = A$ después de tomar el cociente). Esto demuestra que cada masa vector de campo debe ser un medidor de campo en la teoría cuántica de campos.