Probar si $n^2$ es incluso, a continuación, $n$ es incluso.

Question

Yo soy sólo el aprendizaje de las matemáticas, y me gustaría que alguien verifique mi prueba.

Supongamos $n$ es un número entero, y que $n^2$ es incluso. Si añadimos $n$$n^2$,$n^2 + n = n(n+1)$, y de ello se sigue que $n(n+1)$ es incluso. Desde $n^2$ es incluso, $n$ es incluso.

Es esto válido?

Answer 1

Se podría utilizar un poco más de explicación, pero sí, funciona. Me gustaría ampliar a señalar explícitamente por qué $n(n+1)$ es uniforme y que $n=(n^2+n)-n^2$ es entonces la diferencia de dos números pares y, como tal, es incluso (si se asume que usted ya tiene este hecho disponibles para su uso).

Un enfoque alternativo es para demostrar que si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar; el resultado deseado es el contrapositivo y por lo tanto de la siguiente manera a la vez.

Answer 2

Esta prueba es válida.

Sugiero agregar el pequeño detalle que la diferencia de los números enteros es aún.

Answer 3

Otra prueba simple:

$2|n^2$, pero $2$ es primo, a continuación,$2|n$.

Answer 4

Por supuesto, siempre se puede utilizar el hecho de que si $p$ es un primo que divide a un producto de $ab$, $p | a$ o $p |b$. Pero, no estoy seguro de que si usted tiene este resultado, y la pregunta que sugiere que no. Si quieres probarlo, puedes argumentar a lo largo de las siguientes líneas--si usted sabe la identidad de Bezout.

Supongamos que $p$ divide $ab$ ,pero no $a$. Entonces, se sigue que $gcd(a,p)=1$. Por lo tanto, podemos expresar $1=np+ma$. O $b=nbp+mba$. Ahora, ya sabemos que $p|ab$,$ab=\alpha p$, y por lo $a=\frac{\alpha p}{b}$. Por lo tanto, por sustitución, tenemos que $b=nbp+m\alpha p=p(nb+\alpha m)$. Por lo tanto, b es divisible por p.

Para este problema en particular, a=b=n.

Tenga en cuenta que si usted no sabe la identidad de Bezout, entonces usted no tiene idea de cómo fui capaz de escribir 1 como lineal combinado de p y un. En primer lugar observamos que 1 es el mcd de a$p$$a$. Por lo tanto, se puede obtener uno por iteración el algoritmo Euclidiano de nuevo y de nuevo. Entonces, sólo nos hacia atrás sustituto de la última ecuación de arriba para obtener el mcd como lineal combinado de los dos números involucrados. Intente con 5 y 17 años, por ejemplo. Este es Bezout del idenitity.