Tipos de extensiones de campos especiales

Question

Que $K$ ser un campo. Que $p$ ser cualquier número primo.

¿Puede uno construir siempre una extensión algebraica $K_p$ $K$ con las siguientes propiedades?

(1) si $L$ es una extensión finita de %#% en $K$ #%, $K_p$ es coprimo a $[L:K]$.

(2) si es una extensión finita de $p$ $L$ $K_p$ es una potencia de $[L:K_p]$.

En caso afirmativo, ¿cómo?

Answer 1

Sí, esto es cierto para todos los campos de $K$.

Paso 1: Supongamos $K$ es perfecto, por lo que el $\overline{K}/K$ es de Galois. A continuación, el resultado se sigue de la (sencillo) la extensión de la costumbre Sylow de la teoría de grupos finitos para profinite grupos. Es decir, para $G = \operatorname{Aut}(\overline{K}/K)$, uno tiene para cada uno de los prime $p$ un Sylow p-subgrupo de $G_p$, una cerrada de pro-$p$-subgrupo de $G$ de manera tal que el índice de $[G:G_p]$ es sobrenatural número que es el primer a $p$. Lo que esto significa es precisamente lo que se desea: poner $K_p = \overline{K}^{G_p}$. A continuación, cada finito subextension de $K_p/K$ tiene el grado de primer a $p$ y cada finito subextension de $\overline{K}/K_p$ tiene un grado de energía de $p$.

Para la construcción y hechos básicos acerca de profinite subgrupos de Sylow, consultar cualquier texto donde profinite grupos son sistemáticamente discutido, por ejemplo Serre de Galois Cohomology, $\S 1.4$.

Paso 2: Supongamos $K$ no es perfecto, de carácter $p$, y el primer número en cuestión es también igual a $p$. A continuación, se aplica la misma construcción con $K^{\operatorname{sep}}$ en lugar de $\overline{K}$: esto funciona ya que cada finito subextension de $\overline{K}/K^{\operatorname{sep}}$ $p$- potencia de grado.

Paso 3: Supongamos $K$ es imperfecta de la característica $p$ y el primer en cuestión $\ell$ es diferente de $p$. A continuación, pasamos primero a de $K$ a su perfecto cierre de la $L = K^{p^{-\infty}}$, que es un campo perfecto y puramente inseparable de la extensión de $K$. Por lo tanto $\overline{L} = L^{\operatorname{sep}}$, por lo que el Paso 1 se aplica a $L$ nos da un campo de extensión de la $L_{\ell}$ de manera tal que cada finito subextension de $L_{\ell}/L$ tiene el grado de primer a $\ell$ y cada finito extensión de $\overline{L}/L_{\ell}$ tiene un grado de energía de $\ell$. Por lo tanto, puede tomar $K_{\ell} = L_{\ell}$ ya que cada finito subextension de $L/K$ también tiene el grado de primer a $\ell$.