Probar la fórmula de $p$-adic ordinal de $n!$

Question

Que $n \geq 1$ $n = n_0 + ... n_{\ell}p^{\ell}$ ser la expansión p-ádica de $n$. Definir $\alpha_p(n) = n_0 + ... n_\ell$. Entonces $\mathrm{ord}_p(n!)= \frac{n - \alpha_p(n)}{p-1}$. Estoy tratando de probar que esto por inducción y que no parece funcionar sin locura. ¿Alguna idea?

Notas P-adic por Andrew Baker

Answer 1

Primero se nota una fórmula diferente:

$$\operatorname{ord}_p (n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor.$$

Ahora, si usted escribe $n= \sum_{i=0}^{\ell} n_i p^i$ se obtiene que de dicha suma, en realidad sólo va a a $\ell$ (a continuación, los sumandos son $0$) y el $j$-ésimo término es $$\sum_{i=j}^{\ell} n_i p^{i-j}.$$

Así se han expresado lo que usted desea como una suma doble $$\sum_{j=1}^{\ell} \sum_{i=j}^{\ell} n_i p^{i-j}.$$ Ahora, reorganizar suma, o la mirada con la que los poderes de $p$ $n_i$ aparece. Usted encontrará $n_i(1 + \dots + p^{i-1})= n_i(p^i -1)/(p-1)$.

Así, en total se han $$ \sum_{i=1}^{\ell} n_i(p^i -1)/(p-1) = (p-1)^{-1} \sum_{i=0}^{\ell} (n_ip^i-n_i ) = (p-1)^{-1}( n - \sum_{i=0}^{\ell} n_i) $$ como usted desea.

Esto deja a afirmar que el inicio de la representación, pero esto sigue señalando que $\lfloor n/p^1 \rfloor$ es el número de $m\le n$ divisible por $p$, $\lfloor n/p^2 \rfloor$ es el número de $m\le n$ divisible por $p^2$, y así sucesivamente.

Answer 2

Desde $\mathrm{ord}_p(n!)$ es afectada sólo por los números divisibles por $p$ vemos que:

$$\begin{align} \mathrm{ord}_p(n!) &= \mathrm{ord}_p\left((p\cdot 1)(p\cdot 2)\dots \left(p\cdot\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor\right)\right) \\&= \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \mathrm{ord}_p\left(\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor!\right) \end {Alinee el} $$

Por lo tanto la inducción de $n$ $n+1$ es difícil, pero la inducción de $\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor$ $n$ es relativamente fácil.

Básicamente, la inducción es en $\ell$, no $n$.

Tenga en cuenta que $\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor = \frac{n-n_0}p$ y, por la hipótesis de inducción:

$$\mathrm{ord}_p\left(\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor!\right) = \frac{1}{p-1}\left(\frac{n-n_0}{p} - \sum_{i=1}^\ell n_i\right) = \frac{n-n_0}{p(p-1)} - \frac{\sum_{i=1}^\ell n_i}{p-1}$$

Ahora agregar $\frac{n-n_0}{p} = \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor$ a ambos lados y se realizan.