Estoy en un determinado matemáticas de la conferencia y nos llegó a través de Seiberg-Witten ecuaciones. Ya que soy muy novato en el campo, me preguntó si todos "razonable" de cuatro colectores de llevar un $\textit{spin}^{c}$ estructura. Yo estaba bajo la impresión de que $\textit{Spin}$ estructura es algo más rígida, y considerar el hecho de que había una cantidad no numerable de suave estructura en la dimensión 4, parece bastante improbable que un $\textit{spin}^{c}$ estructura de existir para todos los lisas cuatro colectores.
No mucho tiempo después, un colega me dijo que esto se resuelva; una fuente afirmó que $\textit{spin}^{c}$ existe una estructura para todos los lisas colectores de dimensión menor o igual a 4. Yo estaba un poco sorprendido y decidió doble verificación. No estaba claro para mí por qué iba a funcionar para todas las cuatro dimensiones de los colectores, y si funciona, ¿por qué detenerse en 4? (esta afirmación es evidentemente falso, por razones triviales, como $\textit{spin}^{c}$ estructura sólo existe orientado colectores).
Creo que ahora quiero preguntar sobre esta cuestión en serio. He leído el artículo de la wikipedia con cuidado, pero después de volver a la fuente, no veo el libro (Kirby cálculo y 4 colectores) se demostró ninguna declaración como esa. Por otro lado, creo que lo vi en el Seiberg-Witten invariante de la página que $\textit{spin}^{c}$ existe una estructura para todo liso, compacto orientado cuatro colectores. Esta es una declaración razonable para creer, pero, ¿cómo demostrarlo? El artículo de la wikipedia en $\textit{spin}^{c}$ estructura afirmó que:
"A $\textit{spin}^{c}$ existe una estructura si el colector es orientable y ....en otras palabras, la tercera integral Stiefel-Whitney clase se desvanece)"
La prueba está en la sección "detalles". Ahora, me cuesta creer que el todo liso, compacto orientado cuatro colectores de ha $w_{3}(M)=0$. Desde una axiomática punto de vista no es, obviamente, útil, traté de revisar el capítulo correspondiente en Hatcher, que dice(en la parte inferior de la página 75):
"..Para cada celda de la obstrucción a la extensión se encuentra en $\pi_{2}(SO(n))$. Este grupo pasa a ser $0$ todos los $n$, por lo que la sección automáticamente se extiende sobre $B^{3}$. "
De acuerdo a esto, para todos los colectores(no sólo de la dimensión 4); $w_{3}(M)=0$. Si no me equivoco este hecho $(\pi_{2})(G)=0$ si $G$ es semisimple Mentira grupo) es demostrado por Bott. Sin embargo, esta definición (Whitney definición original) parece ser subtlely diferente de la moderna definición(vea la siguiente página en Hatcher). Por lo tanto, quiero preguntar si mi razonamiento proceso funciona a través de. Pensé que no "saben" característico de las clases, pero, obviamente, yo sólo conocía a un nivel superficial que no puedo demostrar este hecho a mí mismo, sin referencia a nada.
