Si $\rho: H \to \text{GL}_n({\bf C})$ es fiel entonces $\text{Ind}_H^G \rho$ es fiel

Question

¿Cómo demuestro si es fiel $\rho: H \to \text{GL}_n(\mathbb{C})$ y $\text{Ind}_H^G \rho$ es fiel?

Answer 1

Como una alternativa a Sameer la respuesta, se podría argumentar de la siguiente manera: Si $V$ $H$- módulo correspondiente a $\rho$,$\text{Ind}_H^G \rho = {\mathbb C}[G]\otimes_{{\mathbb C}[H]} V$, que como un espacio vectorial se descompone como suma directa de $g_i\otimes V$ para una selección de $\{g_i\}_i$ $H$- a la derecha-coset representantes en $G$, entre los que podemos elegir $e$ como el representante de $H$ sí. Entonces, si $g\in G$ actos trivialmente en $\text{Ind}_H^G\rho$, por una parte, se conserva el sumando $e\otimes V$, pero en el otro lado de mapas en el sumando $g_i\otimes V$ que $g_i H = g H$. Por lo tanto $g=h\in H$, en cuyo caso $h$ actúa sobre el sumando $e\otimes V$$\text{id}\otimes\rho(h)$; desde $\rho$ es fiel, podemos deducir $h=e$.

Answer 2

Que $\rho: H \to \text{GL}(W)$ ser un fiel representación y que $V = \text{Ind}^{G}_{H} \, W$, dado en $\hat{\rho}: G \to \text{GL}(V)$. Supongamos que hay un % de no-identidad $g\in G$tal que $g\in \text{ker} \, \hat{\rho}$. Elegir $S$ un conjunto de representantes de coset. Por fórmula de Mackey, vemos que $$\chi_{V} (g) = [G:H] (\text{dim} \, W) = \sum_{gsH = sH} \chi_{W} (s^{-1} g s)$$ But by the triangle inequality $$ [G:H] (\text{dim} \, W) = \left\vert \sum_{gsH = sH} \chi_{W} (s^{-1} g s) \right\vert \le \sum_{gsH = sH} |\chi_{W} (s^{-1} g s)| \le k (\text{dim} \, W)$$ where $k$ is the number of cosets fixed by $G$. Clearly $k\le [G:H] $, so $g $ must fix every coset. In particular, this means $ gH = H \implies g\in H $. Since elements of $H $ act on $w \subset V$ as $\rho$, it follows that $g\in \text{ker} \, \rho$, contradicción.

Answer 3

Mediante el uso de un resultado más fuerte, te daré una respuesta breve y general.

Que $\chi$ ser un el carácter correspondiente de $H$ y $\chi^G$ inducirse carácter $G$.

Lema: $Ker(\chi^G)=Core_G(Ker(\chi))=\bigcap (Ker\chi)^g$

Por lo tanto, si $Ker(\chi)=e$ entonces claramente $Ker(\chi^G)=e$. Por lo tanto, $\chi^G$ es ve.