¿Cuántas soluciones a la ecuación racional?

Question

Si $a$ y $b$ y $c$ son parámetros, cuántas soluciones para:

$$\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$$

Yo diría que $3 \implies x = \{a, b, c\}$

Pero la respuesta es al parecer $\infty$.

¿Estoy confundido?

Answer 1

Usted observa que el $a$, $b$, y $c$ soluciones. Pero si cuenta con al menos un polinomio de grado $\le 2$ $3$ ceros, entonces es el idénticamente $0$ polinomio.

Answer 2

Son encontrar un polinomio de segundo grado cuya gráfica pasa por $(a,1),(b,1),(c,1)$ por la interpolación de Lagrange. Tal polinomio es único, y claramente es el constante $1$.