Isomorfismo de complementos en productos semi directos

Question

Supongamos $G$ es un grupo finito con el normal subgrupos $M,N$ y subgrupos $H,K$ tal que $M \cong N$, $MH=NK=G$, y $M \cap H = N \cap K = 1$. Es el caso de que $H \cong K$?

Claramente $H \cong G/M$$K \cong G/N$, esto es similar a Isomorfo cociente grupos pero, por supuesto, los ejemplos no son semi-directa de productos.

Supuse contraejemplos sería abundante, pero a menos que cometí un error, no hay ejemplos con |G| ≤ 300.

Esta pregunta fue motivada por Tobias observaciones en su pregunta de Cómo determinar si dos semidirect productos son isomorfos?

Answer 1

Esto es sólo Derek Holt respuesta (CW):

Deje $G=C_3 \times S_3$ con normal subgrupos $M=C_3 \times 1$ $N=1 \times A_3$ y complementa $H=1 \times S_3$$K=C_3 \times S_2$. A continuación, $M,N$ son normales y isomorfo. $M \cap H = N \cap K = 1$ es clara, y, a continuación, $MH=NK=G$ sigue automáticamente a partir de consideraciones de orden.

Este es el único más pequeño ejemplo de orden, y, obviamente, se generaliza a $C_p \times D_{2p}$.

En general, $$\begin{array}{rcl} G&=&(A \rtimes B) \times (A \rtimes C) \\ M&=&(A \rtimes 1) \times (1 \rtimes 1) \\ N&=&(1 \rtimes 1) \times (A \rtimes 1) \\ H&=&(1 \rtimes B) \times (A \rtimes C) \\ K&=&(A \rtimes B) \times (1 \rtimes C) \end{array}$$ es una especie de lo que es obvio para probar, y es, de hecho, normalmente funciona. Por ejemplo, si $B$, $C$, $A \rtimes B$, y $A \rtimes C$ están directamente indecomposable, a continuación, $H \not\cong K$ mientras $B \not\cong C$. Por ejemplo, Derek tomó $B=1$, $A=C_3$, y $C=C_2$.