Grupos de Galois de finitos extensiones de campos fijos

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente proposición:

Deje $L$ ser un algebraicamente cerrado de campo, $g \in Aut(L)$$K=\{x \in L \; | \; g(x)=x\}$. Mostrar que cada finito extensiones $E/K$ es cíclica Galois de la extensión.

Hasta ahora mis pensamientos me han llevado a la siguiente:

Si $E=K$, entonces claramente $E/K$ es de Galois y $Gal(E/K)=Aut(K/K)=i$ donde $i$ es la identidad automorphism, por lo que es trivialmente cíclico. Suponga $[E:K]=n$ algunos $n>1$. Desde $E/K$ es una extensión finita, es algebraico. Tenga en cuenta que si $\beta \in E\setminus F$, luego tenemos el polinomio mínimo $m_{\beta}(X)$$K[x]$. Desde $K$ es fijo por $g$, sabemos que $g(\beta)$ también es una raíz de $m_{\beta}(X)$. También podemos concluir que el $g(\beta)\not \in K$ desde $\beta \not \in K$.

Donde tomar cualquiera de estas observaciones, aún no he podido determinar. Siento que me debe faltar algo elemental, por que no puedo ver cómo a la conclusión de que esta es una extensión de Galois de aquí.

Cualquier consejo sería muy apreciada, especialmente a través de soluciones completas.

Answer 1

Sugerencia: Asumir que $x(\in L)$ es algebraico sobre $K$. El conjunto de $\{g^i(x)\mid i\in\mathbf{N}\}$ luego es finito, como $x$ $K$ tiene solamente finito muchos conjugados. Se deduce que un conveniente polinomio de la forma $ \prod_{i=0}^{n-1}(T-g^i(x)) \in K [T]. $$ Con esto esperemos que puede probar si $N$ es un cierre normal de $E/K$, entonces el $Gal(N/K)=\langle g\rangle$. El resto es fácil.