Dejemos que $X$ y $Y$ sean complejos CW (resp. complejos Kan) y sea $f : X \to Y$ sea un mapa continuo (resp. morfismo de conjuntos simpliciales). Lo siguiente parece ser un resultado folclórico:
Teorema. Los siguientes son equivalentes:
- $f : X \to Y$ es una equivalencia homotópica.
- $f_* : \pi_0 (X) \to \pi_0 (Y)$ es una biyección; y para todo $n \ge 1$ y todos los puntos $x$ , $f_* : \pi_n (X, x) \to \pi_n (Y, f (y))$ es un isomorfismo.
- $f_* : \pi_{\le 1} (X) \to \pi_{\le 1} (Y)$ es una equivalencia de los groupoides; y para todo $n \ge 0$ y todas las láminas abelianas localmente constantes (o equivalentemente, sistemas locales de grupos abelianos) $\mathscr{A}$ en $Y$ , $f^* : H^n (Y, \mathscr{A}) \to H^n (X, f^* \mathscr{A})$ es un isomorfismo.
La equivalencia de las condiciones (1) y (2) es el teorema habitual de Whitehead; a mí me interesa la equivalencia de (2) y (3). Lamentablemente, no he podido encontrar una demostración en la literatura. ¿Puede alguien proporcionarme una referencia o un esquema de demostración?
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Pasando a coberturas universales y usando la secuencia espectral de Serre (donde se obtiene una gavilla abeliana localmente constante de coeficientes) y aplicando 3 se muestra que se tiene un isomorfismo en cohomología de las coberturas universales. Como son simplemente conectadas, se obtiene una equivalencia homotópica, y ahora comparando las cubiertas se ve que el mapa original era una equivalencia homotópica.
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Supongo que apelas al teorema cohomológico de Whitehead para espacios simplemente conectados. Pero tampoco sé cómo se demuestra eso.
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Si conoces la de homología, está implícita en esta respuesta, por ejemplo: math.stackexchange.com/questions/600323/
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No, no sé cómo se demuestra ninguna de las variantes del teorema de Whitehead; pero estoy dispuesto a asumir la versión estándar con grupos de homotopía. Por una u otra razón, tengo la impresión de que la equivalencia de (2) y (3) se puede demostrar utilizando algún tipo de descomposición de Postnikov y el teorema de Hurewicz...
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El de la homología se desprende con bastante facilidad del teorema de Hurewicz relativo (homología cero implica homotopía cero para el grupo relativo, y entonces se aplica la LES).
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De hecho, existe un teorema llamado "teorema dual de Whitehead" que se parece a lo anterior, pero no se aplica a los complejos CW, sino a sus duales: "espacios cocelulares", y no involucra a las láminas, sino a los coeficientes integrales estándar. Se demuestra con las descomposiciones de Posnikov.
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La variante homológica se puede encontrar como Lemma 13.1.7 de "Model categories and their localizations" de Hirschhorn.