Encuentra el valor de la integral $\int_0^1\int_0^1e^{\max(x^2,y^2)}dxdy$

Question

Actualmente tengo dificultades para intentar evaluar una determinada integral doble.

$$\int_0^1\int_0^1e^{\max(x^2,y^2)}dxdy$$

Lo he dividido en dos casos,

(i) $\max(x^2,y^2)=y^2$

entonces $$\int_0^1\int_0^1e^{\max(x^2,y^2)}dxdy=\int_0^1e^{y^2}dy$$

(ii) $\max(x^2,y^2)=x^2$

entonces $$\int_0^1\int_0^1e^{\max(x^2,y^2)}dxdy=\int_0^1e^{x^2}dx$$ ya que la integral interna no depende de $y$

Creo que esto es correcto. Es en este punto donde no puedo evaluar. Desde mi punto de vista, esta integral no puede ser resuelta por ningún medio tradicional.

Utilizando series, puedo escribir $$\int_0^1e^{x^2}dx = \int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(2n+1)}}{(2n+1)(n!)}|_0^1 = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)(n!)}$$

¿Sería esta la forma correcta de hacerlo? Además, si es el método correcto, ¿es esa serie la respuesta adecuada? Empecé a tener dudas aquí por lo que no he mostrado la convergencia (o no), sospecho que este sería el siguiente paso.

Answer 1

Tienes que dividir la integral en 2 partes según el lado de la línea $y=x$ estás en ello:

$$\int_0^1 dx \, \int_0^1 dy \, e^{\max{(x^2,y^2)}} = \int_0^1 dx \, \int_0^x dy \, e^{x^2} + \int_0^1 dx \, \int_x^1 dy \, e^{y^2}$$

Invirtiendo el orden de integración en la segunda integral, se puede demostrar que los dos trozos son iguales; así la integral es simplemente

$$2 \int_0^1 dx \, x \, e^{x^2} = e-1$$

Answer 2

La serie no es la forma de resolver este problema, aunque es posible. Cuando se examina $\max(x^2,y^2)$ sobre la región $[0,1]\times[0,1]$ lo encuentras: $$\max(x^2,y^2) = \begin{cases} y^2, \text{ for } y \ge x \\ x^2, \text{ for } y \lt x \end{cases}$$ Así, por simetría:

$$\begin{align} \int_0^1\int_0^1e^{\max(x^2,y^2)}dy\,dx &= 2\int_0^1\int_0^xe^{x^2}dy\,dx \\ &= 2\int_0^1xe^{x^2}dx\\ &= \ldots \end{align}$$ (Que ciertamente es integrable con los métodos de Calc II)

Answer 3

Su intento de dividir en casos es el instinto correcto, pero no lo ejecutó correctamente. Cuando $x\ge y$ tenemos $\max(x^2,y^2)=x^2$ . Por simetría, obtenemos $$\int_0^1\int_0^1 e^{\max(x^2,y^2)}\,dy\,dx = 2 \int_0^1\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 2xe^{x^2}\,dx = e-1\,.$$

Answer 4

\begin{eqnarray} \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^1 e^{\max(x^2,y^2)} dx dy &=& 2 \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^x e^{\max(x^2,y^2)} dx dy \\ &=& 2 \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^x e^{x^2} dx dy \\ &=& 2 \int_{x=0}^1 x e^{x^2} dx dy \\ &=& e-1 \end{eqnarray}