Computación en la homología de grupos en diferentes campos

Question

Primero de todo, mi experiencia en la Homología y la Topología Algebraica es muy limitada y no incluye mucho, salvo para los conceptos básicos; estoy tratando de entender algunas de Homología de técnicas como las aplicaciones correspondientes a un curso en la combinatoria de que me estoy tomando.

De todos modos, en clase hemos visto el ejemplo de la computación de la homología de grupos de $\mathbb{P}^2$ - El plano proyectivo sobre $\mathbb{R}$. Se sabe que $\beta_0(\mathbb{P}^2 ; \mathbb{F})=1$ desde el plano proyectivo está conectado. Ahora, resulta que $H_2(\mathbb{P}^2 ; \mathbb{Q})=0$ mientras $H_2(\mathbb{P}^2 ; \mathbb{F}_2) \cong \mathbb{F}_2$, pero el profesor, que en realidad no ha explicado cómo se calcula.

Cualquier explicación sobre la computación método sería muy apreciada, como va a ser la intuición en todo este concepto, o referencias a leer más (sé que Hatcher, el libro de Topología Algebraica, pero no parece muy útil).

Answer 1

Creo que podemos conseguir a lo largo de bien sin espectral de secuencias o el universal coeficiente teorema :) (aunque ambos son probablemente más útil en general - es bueno hacer un cálculo real, al menos una vez en su vida!).

Para el caso de $\mathbb{R}P^2$ le sucede que tiene una buena descripción de este como un $\Delta$-complejo (estoy asumiendo que usted vio esto en Hatcher). Así que usted puede calcular la homología de grupos como Hatcher descrito para un $\Delta$-complejo en general, excepto que cuando se utiliza $\mathbb{Z}$ (es decir, mirando a la "libre abelian grupo generado por") simplemente reemplazarlo con $\mathbb{Z}/2$ o $\mathbb{Q}$ y la mirada en el espacio vectorial.

Más específicamente: Dado un $\Delta$-complejo de $X$, vamos a $\Delta_n(X, F)$ ser el espacio vectorial con base abierta $n$-simplices de $X$. Ahora mira a Hatcher Ejemplo 2.4 y ver qué pasa con estos nuevos coeficientes!

Answer 2

Mi forma favorita para el cálculo de la (co)homología es el uso de la Serre espectral de la secuencia, pero creo que es un poco más de matar para este problema. Creo que la mejor manera de hacerlo sería a venir para arriba con un modelo de $\mathbb{R}P^2$ como una célula compleja y, a continuación, calcular el celular de homología. Para hacer este look a la modelo para $S^2$ que tiene un 2 células en cada dimensión (menos de o igual a 2). Ahora $\mathbb{R}P^2$ es un cociente de $S^2$ libre $\mathbb{Z}/2$ acción para identificar el uso como un modelo para $\mathbb{R}P^2$ el cociente de la modelo para $S^2$ el marco de esta acción. A continuación, calculamos el celular de Homología. Tensor del complejo, con lo que los coeficientes que te gusta y luego tomar la homología.

Voy a dar un poco de tiempo para pensar sobre el modelo para $S^2$ y volver más tarde con más.

Answer 3

Resulta que la homología de grupos de $H_{\bullet}(X,\mathbb{Z})$ de un espacio de $X$ $\mathbb{Z}$- coeficientes de determinar la homología de grupos de $H_{\bullet}(X,A)$ con coeficientes en cualquier grupo abelian $A$. El resultado clave aquí es el (muy buen nombre!) Universal Coeficiente Teorema.

La idea básica es que nuestra primera conjetura en $H_i(X,A)$ es simplemente $H_i(X,\mathbb{Z}) \otimes A$. Este es un buen primer adivinar en que en todos los casos hay una natural inyectiva mapa de $H_i(X,\mathbb{Z}) \otimes A \rightarrow H_i(X,A)$. Como habéis visto, este mapa no tiene que ser un isomorfismo. El universal coeficiente teorema dice que su cokernel es $\operatorname{Tor}(H_{i-1}(X,\mathbb{Z}),A)$ y también que la secuencia es (no canónicamente) dividir, es decir,

$$H_i(X,A) \cong (H_i(X,\mathbb{Z}) \otimes A) \oplus \operatorname{Tor}(H_{i-1}(X,\mathbb{Z}),A).$$

Aquí $\operatorname{Tor}( \ , \ )$ es el primer "Tor grupo" de álgebra homológica. Bien puede ser que usted no sabe lo que este gadget es. (Yo no lo oí por primera vez topología algebraica.) Así que me pareció útil para escribir una "cheatsheet" de $\operatorname{Tor}(X,Y)$ al $X$ $Y$ son tanto finitely generado abelian grupos. En efecto, desde el $\operatorname{Tor}$ es de tipo aditivo y simétrica, es suficiente para saber que para todos los $m,n \in \mathbb{Z}^+$,

$\operatorname{Tor}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = 0$ y
$\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/\operatorname{gcd}(m,n) \mathbb{Z}$.

Como un primer ejercicio, trate de utilizar toda esta información para confirmar que la homología de grupos de $\mathbb{R} \mathbb{P}^2$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$- coeficientes son como usted ha dicho.

(También hay un Universal Coeficiente Teorema de cohomology en la que el término de corrección implica $\operatorname{Ext} = \operatorname{Ext}^1$ en lugar de $\operatorname{Tor}$...)