Conjetura $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[3]x\,\sqrt[6]{1-x}\,\sqrt{1-x\left(\sqrt{6}\sqrt{12+7\sqrt3}-3\sqrt3-6\right)^2}}=\frac\pi9(3+\sqrt2\sqrt[4]{27})$

Question

Vamos $$\alpha=\sqrt{6}\ \sqrt{12+7\,\sqrt3}-3\,\sqrt3-6.\tag1$$ Tenga en cuenta que $\alpha$ es el único positivo de la raíz de la ecuación polinómica $$\alpha^4+24\,\alpha^3+18\,\alpha^2-27=0.\tag2$$ Ahora considere la siguiente integral: $$I=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[3]x\ \sqrt[6]{1-x}\ \sqrt{1-x\,\alpha^2}}.\tag3$$ Tengo una conjetura valor elemental para que $$I\stackrel?=\frac\pi9\Big(3+\sqrt2\ \sqrt[4]{27}\Big).\tag4$$

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En realidad, la integral de la $I$ pueden ser evaluados en una forma exacta usando Mathematica o manualmente, usando la fórmula DLMF 15.6.1: $$I=\frac{4\,\sqrt\pi}{\sqrt3}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac56\right)}{\Gamma\left(\frac13\right)}\cdot{_2F_1}\left(\frac12,\frac23;\ \frac32;\ \alpha^2\right),\tag5$$ pero yo no podía encontrar una manera de simplificar este resultado a $(4)$.

Por lo tanto, mi conjetura puede ser reformulado en una forma diferente: $${_2F_1}\left(\frac12,\frac23;\ \frac32;\ \alpha^2\right)\stackrel?=\frac{\sqrt2+\sqrt[4]3}{4\,\sqrt[4]{27}}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac13\right)}{\Gamma\left(\frac56\right)}\cdot\sqrt\pi\tag6$$ o $$\sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma\left(n+\frac23\right)}{(2\,n+1)\,\Gamma(n+1)}\alpha^{2\,n}\stackrel?=\frac{3+\sqrt2\,\sqrt[4]{27}}{18}\cdot\frac{\pi^{3/2}}{\Gamma\left(\frac56\right)}.\tag7$$

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La conjetura también puede ser dada en términos de la función beta incompleta: $$B\left(\alpha^2;\ \frac12,\frac13\right)\stackrel?=\frac{\sqrt\pi}2\cdot\frac{\Gamma\left(\frac13\right)}{\Gamma\left(\frac56\right)}.\tag8$$

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Pregunta: Es la conjetura de hecho es la verdad?

Nota: contiene numéricamente, al menos, $10^4$ dígitos decimales.

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Conjetura 2

Vamos $$ \begin{multline} \beta=\frac{21}4+\frac{9\,\sqrt5}4-\frac{15}8\sqrt{750-330\,\sqrt5}-\frac{33}8\sqrt{150-66\,\sqrt5}+ \\ + \frac12\sqrt{3\left(165+75\,\sqrt5-46\,\sqrt{750-330\,\sqrt5}-103\,\sqrt{150-66\,\sqrt5}\right)}.\tag9 \end{multline}$$ Suponemos que: $$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[3]x\ \sqrt[6]{1-x}\ \sqrt{1-x\,\beta^2}}\stackrel?=\frac{2\,\pi}{5\,\sqrt3\,\beta}.\tag{10}$$

Me imagino que si estas conjeturas son ciertas, entonces no son generalizaciones para algunos otros números algebraicos.

Answer 1

Deje $t = 1 + y^3$, podemos reescribir $B\left(\alpha^2; \frac12, \frac13 \right)$

$$\int_0^{\alpha^2} t^{-1/2} (1-t)^{-2/3} dt = \int_{-1}^{-\sqrt[3]{1-\alpha^2}} \frac{3y^2dy}{\sqrt{1+y^3} y^2} = 3 \int_{-1}^{-\sqrt[3]{1-\alpha^2}} \frac{dy}{\sqrt{1+y^3}}$$

Tras la instalación en mi respuesta a una pregunta relacionada. Vamos $\;\displaystyle\eta = \frac{\Gamma\left(\frac13\right)\Gamma\left(\frac16\right)}{\sqrt{3\pi}}\;$ $\wp(z)$ ser el de Weierstrass elíptica $\wp$ función fundamental con períodos de $1$ y $e^{i\pi/3}$. $\wp(z)$ es conocido para satisfacer una ODA de la forma $$\wp'(z)^2 = 4 \wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3\quad\text{ where }\quad g_2 = 0 \;\text{ and }\;g_3 = \frac{\eta^6}{16}$$ Si uno realiza la sustitución de variables de $\;\displaystyle y = -\frac{4}{\eta^2} \wp\left(\frac{iz}{\eta}\right)$, uno tiene

$$\frac{dy}{\sqrt{1+y^3}} = -dz\quad\text{ y }\quad \begin{cases} y\left(\frac{\sqrt{3}\eta}{3}\right) = -\frac{4}{\eta^2}\wp\left(i\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 0\\ \\ y\left(\frac{\sqrt{3}\eta}{2}\right) = -\frac{4}{\eta^2}\wp\left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 \end{casos}$$ Con esto, podemos expresar conjetura $(8)$ en términos de $y(\cdot)$ y/o $\wp(\cdot)$: $$\begin{align} & B\left(\alpha^2; \frac12, \frac13 \right) \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma\left(\frac13\right)}{\Gamma\left(\frac56\right)} = \frac{\sqrt{3}}{4}\eta\\ \iff & 3\left[y^{-1}(-1) - y^{-1}(-\sqrt[3]{1-\alpha^2})\right] \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{3}}{4}\eta\\ \iff & y^{-1}(-\sqrt[3]{1-\alpha^2}) \stackrel{?}{=} \frac{5\sqrt{3}}{12}\eta\\ \iff & \frac{4}{\eta^2}\wp\left(i\frac{5\sqrt{3}}{12}\right) \stackrel{?}{=} \sqrt[3]{1-\alpha^2} \end{align} $$ Vamos $u_0 = i\frac{\sqrt{3}}{3}$, $u_{-1} = i\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $u = i\frac{5\sqrt{3}}{12} = \frac12(u_0 + u_{-1})$. Mediante la adición de fórmula para $\wp$ función, tenemos

$$ \wp(2u) = \wp(u_0 + u_{-1}) = \frac14\left[\frac{\wp'(u_0)-\wp'(u_{-1})}{\wp(u_0)-\wp(u_{-1})}\right)^2 - \wp(u_0) - \wp(u_{-1})\\ =\frac14\left[\frac{-i\frac{\eta^3}{4} - 0}{0 - \frac{\eta^2}{4}}\right)^2 - 0 - \frac{\eta^2}{4} = -\frac{\eta^2}{2} $$ Mediante la duplicación de la fórmula de $\wp$ función, obtenemos $$ -\frac{\eta^2}{2} = \wp(2u) = \frac14\left(\frac{(6\wp(u)^2-\frac12 g_2)^2}{4\wp(u)^3-g_2\wp(u)-g_3}\right) -2\wp(u) = \frac{9\wp(u)^4}{4\wp(u)^3-\frac{\eta^4}{16}} - 2\wp(u) $$ Deje $Y = \frac{4}{\eta^2}\wp(u)$$A^2 = 1 - Y^3$, por encima de la condición es equivalente a

$$\begin{align} & Y^4 + 8 Y^3 + 8 Y - 8 = 0\tag{*1a}\\ \iff & Y(8+Y^3) = 8(1-Y^3)\tag{*1b}\\ \implies & (9-A^2)^3(1-A^2) = 512A^6\tag{*1c}\\ \iff & (A^4-24A^3+18A^2-27)(A^4+24A^3+18A^2-27) = 0\tag{*1d} \end{align}$$

• Desde $\alpha$ es una raíz de uno de los factores en $(*1d)$, $A = \alpha$ satisface $(*1d)$ y, por tanto,$(*1c)$.
• Desde $0 < \alpha < 1$ implica $1 - \alpha^2 > 0$, $(*1c) \implies (*1b)$ en este caso en particular.
  es decir, $Y = \sqrt[3]{1-\alpha^2}$ satisface $(*1b)$ y, por tanto,$(*1a)$.
• Desde $u$ se encuentra entre $u_0$ y $u_{-1}$, $\frac{4}{\eta^2}\wp(u) > 0$. El uso de el hecho de $(*1a)$ tiene sólo uno de los efectos positivos de la raíz, nos encontramos con $\frac{4}{\eta^2}\wp(u) = \sqrt[3]{1-\alpha^2}$. es decir, una conjetura $(8)$ es cierto.

Answer 2

$\def\Beta{B}\def\tfrac#1#2{{\textstyle\frac{#1}{#2}}}$ Tal vez esto podría ser útil para alguien. La integral es igual a, como nota, $$ J(y) = \int_0^1 x^{-1/3}(1-x)^{-1/6}(1-xy^2)^{-1/2}\,dx = \frac{2\pi}{y\sqrt{3}} \frac{\Beta(y^2,\frac12,\frac13)}{\Beta\frac12,\frac13)}, $$ donde $\Beta(z,a,b)$ es la función beta incompleta. Considere la función $$ I(y^2,a,b) = \frac{\Beta(y^2,a,b)}{\Beta(a,b)}, $$ y reescritura, utilizando DLMF 8.17 como $$ I(y^2,\tfrac12,\tfrac13) = 1-2I(z,\tfrac13,\tfrac13), \qquad 4z(1-z) = 1-y^2. $$ A continuación, la función $$ f(z) = I(z,{\textstyle\frac13,\frac13}) = 3z^{1/3}\frac{{}_2F_1(\tfrac13,\tfrac23;\tfrac43;z)}{\Beta(\frac13,\frac13)} $$ es aquel para el que las conjeturas son equivalentes a (la elección de la derecha de la raíz de $z$): $$ f(z) = \tfrac14 \quad\Leftrightarrow\quad z^4-14z^3+24z^2-14z+1=0, $$ $$ f(z) = \tfrac25 \quad\Leftrightarrow\quad 1+17 z-107 z^2+164 z^3-155 z^4+164 z^5-107 z^6+17 z^7+z^8=0, $$

De mis pruebas parece (no sé cómo probar esto) que la función de $z(w)$ que resuelve la ecuación de $f(z(w)) = w$ siempre ha algebraica de los valores de $w$ es un número racional. El original de la integral es $\frac{2\pi}{y\sqrt{3}}(1-2f(z))$, que es algebraicas veces $\pi$ al $f(z)$ es racional y $z$ algebraicas, así que creo que la pregunta es realmente acerca de la solución de $f(z)=w$.