¿Una fórmula general para $\sum (k-1)(k-2)(k-3)$?

Question

Qué es una fórmula "más simple" para

$$\sum_{3}^{n} \frac{(k-1)(k-2)(k-3)}{6}$$

Answer 1

Sugerencia:

$$k(k-1)(k-2)(k-3) - (k-1)(k-2)(k-3)(k-4) = 4(k-1)(k-2)(k-3)$$

Answer 2

Mostrar que ${k+3 \choose 3}$ es el número de soluciones al $x_1 + ... + x_4 = k$ en números enteros no negativos. ¿$\sum_{k=0}^{n-4} {k+3 \choose 3}$ Es el número de soluciones a $x_1 + ... + x_5 = n-4$ en números enteros no negativos, lo que es...?

Answer 3

No hay una fórmula general para este caso especial, todo lo que tiene es usar las fórmulas para $\sum {k} , \sum{k^2} \text{ and } \sum{k^3}$. Sólo ampliar la expresión y utilizar las sumas más simples conocidas.

Answer 4

Considerar la siguiente suma $$\sum_{m=0}^n \binom{m}{k}.$$ It counts the number of possibilities to select $k$ elements from at most $n$ elements. Some choices are counted multiple times, for example $\{0,\ldots,k-1\}$ is counted once for each $m \in [k-1,n]$. So it's natural to distinguish among those by tagging them with $m$ somehow. The best way to do that is to add the element $m+1$. The result is a choice of $k+1$ elements from $n+1$, and so $$\sum_{m=0}^n \binom{m}{k} = \binom{n+1}{k+1}.$$ From this formula one can extract (using linear algebra) the usual formulas for $\sum_{m=0}^n m ^ k$.

Answer 5

SUGERENCIA $\ $ La suma de los telescopios desde la caída factorial sumando es una perfecta diferencia:

$\rm\quad (k+1)^{[n]} - k^{[n]}\ =\ (k+1)\ k\ \cdots\ (k-n+2)\ -\ k\ (k-1)\ \cdots\ (k-n+1)$

$\rm\quad\phantom{(k+1)^{[n]} - k^{[n]}\ } =\ (k+1 - (k-n+1))\ \ \ k\ (k-1)\ \cdots\ (k-n+2)$

$\rm\quad\phantom{(k+1)^{[n]} - k^{[n]}\ }\ =\ n\ k^{[n-1]}$

Para otros ejemplos de aditivos/multiplicativo telescopy ver aquí y aquí o aquí o aquí o aquí. Para mucho más en la caída de los factoriales ver Steven Romano del libro de texto El Umbral de Cálculo.