Calcula la probabilidad de obtener exactamente $3$ derecho correctamente, y por supuesto que la probabilidad de obtener todos los $5$ a la derecha. La probabilidad de obtener exactamente $4$ derecho es evidentemente $0$. Tan sólo tenemos que lidiar con las probabilidades de $2$, $1$, e $0$ a la derecha.
Un pequeño comentario sobre el número de permutaciones que tienen exactamente $3$ a la derecha. Su análisis fue buena. Yo, sin embargo, prefiere contar de la siguiente manera. Hay $\binom{5}{3}$ formas de seleccionar los cuales tres serán de la derecha. Para cada uno de estos aspectos, la necesidad de intercambiar los otros dos, por lo que el número es $\binom{5}{3}$. Se optó, en cambio, los dos elementos que podrían ser intercambiados. La misma cuenta.
Exactamente $2$ a la derecha, que nos permiten contar las permutaciones que tienen exactamente $2$ a la derecha. Que $2$ son de la derecha puede ser elegido es $\binom{5}{2}$ maneras. Para cualquier tipo de elección, que deja tres entradas, dicen $a$, $b$, y $c$, que debe ser del todo mal. Por lo tanto $a$ debe estar en una de las posiciones de $b$ o $c$. Si $a$ está en la posición$b$, $b$ debe estar en la posición $c$ (no puede estar en la posición $a$, para, a continuación, $c$ serían forzadas en la posición $c$, lo que haría más de $2$ a la derecha). De ello se desprende que hay $\binom{5}{2}(2)$ permutaciones en las que exactamente $2$ son de derecha.
Exactamente $1$ derecha, la que está a la derecha puede ser elegido en $\binom{5}{1}$ maneras. Que deja a $4$ elementos, que deben estar en la posición incorrecta. ¿Dónde se $a$ ir? Hay $3$ posibilidades, $b$, $c$, y $d$. La situación es simétrica en $b$, $c$, y $d$, por lo que contamos con las permutaciones que tome $a$$b$, y multiplicar el resultado por $3$.
Así que supongamos $a$ va a la posición $b$. Quizás $b$$a$, en cuyo caso $c$ $d$ también deberá obtener intercambiados. Esto le da a $1$ permutación. O quizás $b$ $c$ o $d$. Contamos con las permutaciones que tome $b$$c$, y multiplicar por $2$.
Por lo $a$$b$, e $b$$c$. A continuación, $c$ debe ir a $d$, e $d$ debe ir a $a$. Llegamos a la conclusión de que hay $1+2$ permitido permutaciones tal que $a$$b$. El total es, por tanto,$\binom{5}{1}(3)(3)$.
Exactamente $0$ a la derecha, podemos utilizar la misma idea. Sin embargo, es más fácil restar la suma de las respuestas de $5$, $4$, $3$, $2$, y $1$$5!$.
Comentario: Nos hizo crudo contar, con prácticamente ninguna teoría. Para números más grandes que $5$, esto podría llegar a ser muy difícil. Hay general de la teoría que le da una respuesta. Para más detalles, mira por ejemplo la discusión de las alteraciones en la Wikipedia.
Para cualquier $m$, vamos a $D_m$ el número de alteraciones de un conjunto $S_m$ $m$ elementos, esto es, las permutaciones de $S_m$, que no dejan ningún elemento fijo. (Wikipedia utiliza la notación $!m$$D_m$.) Hay expresiones explícitas, y también es bueno recurrencias, por $D_m$. El número de permutaciones de un conjunto de $n$ elementos que salen exactamente $k$ elementos fijos es, a continuación,$\binom{n}{k}D_{n-k}$.
