valores propios de la resta de una matriz PSD y una matriz de rango 1

Question

Que $A$ ser una matriz semi definida positiva, y que $C$ ser una matriz de rango 1. Demostrar que $A-C$ tiene a lo más un valor propio negativo.

PD: Es fácil mostrar que si $A$ $C$ viaje, entonces la afirmación es cierta, y la mayoría de las veces no conmutar.

Answer 1

Supongamos que no. $B=A-C$ Tiene dos vectores propios linealmente independientes $u_i$ para valores propios negativos. Así para cualquier % distinto de cero $u \in V = \text{Span}(u_1, u_2)$, $u^T B u < 0$. Ahora podemos escribir $C = a b^T$ % vectores $a$y $b$, y hay un distinto de cero $v \in V$ $b^T v = 0$. Entonces $C v = 0$ % que $v^T A v = v^T B v < 0$, contradiciendo la declaración que $A$ es PSD.