Definitivamente el problema integral de $\frac {x^n}{n!}$

Question

Quiero evaluar la siguiente integral definitiva.

$$\int_0 ^ \infty\frac {x^n}{n!}dn$$

Donde tenemos $n!= \Gamma (n+1)= \int_0 ^ \infty t^ne^{-t}dt$ para que podamos tener $n \in\mathbb {R}$ .

No creo que haya una solución a esto, pero sí observo que

$$\int_0 ^ \infty\frac {x^n}{n!}dn \sim\sum_ {n=0}^ \infty\frac {x^n}{n!}=e^x$$

Además, definimos $0^0=1$ .

El contexto de este problema es que quiero ver si

$$\int_0 ^ \infty\frac {x^nf^{(n)}(a)}{n!}dn= \sum_ {n=0}^ \infty\frac {x^nf^{(n)}(a)}{n!}$$

Una modificación del teorema de Taylor para el cálculo fraccionario.

En mis condiciones, es obvio que los dos son iguales para $x=0$ pero incluso para el aparentemente trivial caso de $x=1$ No sé cómo resolver la integral.

WolframAlpha provee una representación en serie para la integral indefinida ( $x=1$ ), pero no estoy seguro de si puedo usarlo.

Siéntase libre de abordar sólo el $x=1$ caso. A partir de los gráficos, parece muy posible que $\int_0 ^ \infty\frac1 {n!}dn=e$ pero no estoy completamente seguro.

De wolframalpha He descubierto que $\int_0 ^ \infty\frac1 {n!}d \approx2.2665$ .

EDITAR

Los cálculos numéricos dicen $\int_ {- \gamma }^ \infty\frac1 {n!}dn \approx2.70907$ donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. Parece muy cercana a $e$ ...

Answer 1

Dudo que haya un formulario cerrado, pero puede escribirlo como

$$\int_0 ^1 \sum_ {j=0}^ \infty \dfrac {x^{a+j}}{ \Gamma (a+j+1)}\; da = \int_0 ^1 e^x \left (1 - \dfrac {a \Gamma (a,x)}{ \Gamma (a+1)} \right )\; da$$

Numéricamente, el valor en $x=1$ es aproximadamente $2.266534508$ .