Representación matricial de los operadores de clase de rastro

Question

Supongamos que tenemos un espacio de Hilbert separable (así con una contables) y que representan un operador en la forma de la matriz, yo.e:

$A: H \rightarrow H $$$x \;\rightarrow \sum_{j \in \mathbb{N}}\left(\sum_{k \in \mathbb{N}} a(j,k)\cdot\langle x,e_k\rangle \right)e_j$$

Dado que:

• La serie de los números complejos $\sum_{k \in \mathbb{N}} a(j,k)\cdot<x,e_k>$ converge.

• Que $\sum_{j \in \mathbb{N}}\left(\sum_{k \in \mathbb{N}} a(j,k)\cdot\langle x,e_k\rangle \right)e_j$ converge.

• Que $\sum_{j \in \mathbb{N}}\sum_{k \in \mathbb{N}} \left |a(j,k) \right|^2 < \infty$ (las condiciones anteriores + este implica que es una de Hilbert-Schmidt operador).

• Y que $\sum_{k \in \mathbb{N}} \left |a(k,k) \right| < \infty$.

Demostrar que $A$ es una clase de seguimiento del operador.

Mi intento por llegar a una solución

Por estas condiciones, hemos de saber que $\left | Tr (A) \right | \leq \displaystyle{\sum_{k \in \mathbb{N}}} \left | a(k,k) \right | < \infty$. Pero no puedo ver la conexión a $Tr(\left |A \right |)$. Consejos sobre cómo proceder?

Answer 1

No creo que el $A$ tiene que ser de seguimiento de la clase.

Considere la posibilidad de una secuencia $b=\{b_j\}$ tales $b\in \ell^2(\mathbb N)\setminus \ell^1(\mathbb N)$ (por ejemplo, $b_j=1/j$). Definir el operador $$ A=\bigoplus_j\begin{bmatrix}0&b_j\\ b_j&0\end{bmatrix}. $$ Es decir, en la base canónica, $$ A=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0 \\& & 0 & 1/2\\ & & 1/2&0\\ &&&&\ddots \end{bmatrix} $$ donde las entradas vacías también se $0$.

Ya que cada fila contiene un único elemento distinto de cero, la primera condición se cumple trivialmente. La segunda condición es fácil, porque nos encontramos con una suma sobre la base canónica con coeficientes en un $\ell^2$-secuencia.

Tercera condición se mantiene, ya que $\sum_j\sum_k|a(j,k)|^2=2\sum_j|b_j|^2<\infty$.

Y la cuarta condición mantiene debido a $a(k,k)=0$ todos los $k$.

Pero $A$ no está de seguimiento de la clase: debido a $|A|$ es el operador diagonal diagonal $b_1,b_1,b_2,b_2\ldots$, por lo que su seguimiento es infinito.