¿Cómo es el ANOVA de medidas repetidas un caso especial de modelos lineales mixtos?

Question

En este comentario @gung menciona que

En otro orden de cosas, creo que es justo pensar en ANOVA de medidas repetidas como un caso especial de modelos lineales mixtos.

y un comentario posterior está de acuerdo con esto.

Entiendo que en ANOVA de medidas repetidas tenemos observaciones anidadas dentro de sujetos, y la dependencia que esto crea se mapea precisamente en lo que los modelos lineales mixtos están destinados a tratar.

¿En qué sentido es ANOVA de medidas repetidas un caso especial de modelos lineales mixtos? ¿Es que ANOVA de medidas repetidas asume que los residuos tienen varianza constante y no están correlacionados entre sí, mientras que los modelos lineales mixtos no asumen esto?

Answer 1

El ANOVA de medidas repetidas es un caso especial de modelos lineales de efectos mixtos porque es menos flexible en cuanto a la estructura de la parte de "efectos aleatorios" de un modelo lineal de efectos mixtos, además asume algunas comodidades adicionales para los datos en cuestión.

El ANOVA de medidas repetidas comienza con la forma general: \begin{align} y_{ij} = \mu_{ij} + \pi_{ij} + \epsilon_{ij} \end{align>

donde $i$ indexa el sujeto, $j$ el punto en el tiempo, $\mu_{ij}$ es la media en el tiempo $j$ para el individuo $i$, $\pi_{ij}$ es la salida consistente de $y_{ij}$ de $\mu_{ij}$ para el $i$-ésimo individuo y $\epsilon_{ij}$ son los errores. Al hablar de consistente aquí se quiere decir que bajo repeticiones (hipotéticas) del mismo individuo, $y_{ij}$ tiene una media de $\mu_{ij} + \pi_{ij}$. Es lo que se describiría como la respuesta media condicional en contexto de un LME.

Esto está bien, pero al observar la parte de "efectos aleatorios", el ANOVA de medidas repetidas asume que la distribución de las variables de respuesta tiene simetría compuesta. Esto significa que todas las variables de respuesta tienen la misma varianza, y cada par de variables de respuesta tiene una correlación común. (Esto se relaciona estrechamente con el concepto de esfericidad - teóricamente solo se necesita esfericidad en lugar de simetría compuesta, pero es (muy) difícil conseguir esfericidad sin simetría compuesta. Huynh & Feldt, 1970, JASA). Por otro lado, para citar Davis, 2002 Cap. 6: "El enfoque de modelos lineales mixtos para medidas repetidas ve el análisis como un análisis de regresión univariado de respuestas con errores correlacionados." En este sentido, la correlación puede tener muchas estructuras diferentes, Toeplitz, AR(1), simetría compuesta (como arriba), intercepto y pendiente aleatorios, etc. Puedes mezclar diferentes fuentes de error "sin" problema (por ejemplo, incluso la documentación de aov dice que "Si hay dos o más estratos de error, los métodos utilizados son estadísticamente ineficientes sin equilibrio, y puede ser mejor utilizar lme en el paquete nlme..."). Por último, llegando a la parte de las comodidades: El modelo ANOVA de medidas repetidas no puede: 1. tener variación entre unidades experimentales con respecto al número y momento de las observaciones. 2. manejar datos faltantes o 3. covariables dependientes del tiempo. Estas ventajas solo vienen con los modelos lineales de efectos mixtos.